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確定性的終結

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《確定性的終結》 作者:伊利亞·普利高津 譯者:湛敏          
簡介    
    【作 者】伊利亞·普利高津著 湛敏譯    
  【叢書名】哲人石叢書    
  【形態項】 164 ; 20cm    
  【讀秀號】000002625941    
  【出版項】 上海科技教育出版社 , 1998    
  【ISBN號】 7-5428-1861-9 / O412.1    
  【原書定價】 CNY13.50 網上購買    
  【主題詞】時間(學科: 研究)    
  【參考文獻格式】伊利亞·普利高津著 湛敏譯. 確定性的終結 時間、混沌與新自然法則. 上海科技教育出版社, 1998.    
  本書是布魯塞爾學派和奧斯丁學派數十年研究工作的結果。雖然物理思想早已明晰,但它們精確的數學表述只是在最近幾年才得到。在這裡,我想對這個學派的年輕成員和熱心的合作者表達感激之情,他們對構成本書基礎的時間之本性問題的新表述作出了重要貢獻。我要特別提到布魯塞爾的安東尼烏(Ioannis Antoniou),奧斯丁的德裡貝(DeanDriebe)、長谷川(Hiroshi Hasegawa)和彼得羅斯基(Tomio Petrosky),以及京都的多崎(Shuichi Tasaki)。我還要提到我在布魯塞爾的老同事,他們奠定了使進一步進展成為可能的基礎。我感謝伯列斯庫(Radu Balescu),德·哈恩(Michel de Haan),埃寧(Francoise Henin),喬治(Claude George),格雷科斯(Alkis Grecos)和邁內(Femand Mayne)。遺憾的是,雷西博斯(Pierre Resibois)和羅森菲爾德(Leon Rosenfeld)不再和我們在一起了。         
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
中文版序    
   我非常高興本書被譯成中文,將為中國讀者所接受。這也給我一個機會來強調本書的一個重要觀點——科學與文化的聯繫。日本科學家湯川秀樹指出:「聽起來也許奇怪,身為一名物理學家,我卻越來越強烈地感受到現代物理學與我自身的疏遠。」西方科學強調「自然法則」思想,這與中國的傳統形成鮮明對照,因為,自然之中文字面意義是「天然」。    
  西方科學和西方哲學一貫強調主體與客體之間的二元性,這與注重天人合一的中國哲學相悖。    
  本書所闡述的結果把現代科學拉近中國哲學。自組織的宇宙也是「自發」的世界,它表達一種與西方科學的經典還原論不同的整體自然觀。我們愈益接近兩種文化傳統的交匯點。我們必須保留已證明相當成功的西方科學的分析觀點,同時必須重新表述把自然的自發性和創造性囊括在內的自然法則。本書的雄心正是以一種廣大讀者易於接受的方式闡述這一綜合。自本書於 1996年問世以來,沿著這條思路又取得了更多的進展。    
  在本世紀末,我們並非面對科學的終結,而是目睹新科學的萌生。我衷心希望,中國青年一代科學家能為創建這一新科學作出貢獻。    
  最後,我要感謝湛敏女士對本書的翻譯,感謝上海科技教育出版社出版本書的中文版。    
  I.普利高津    
  1998年8月5日於布魯塞爾         
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
致謝    
   本書有著某種不尋常的歷史。起初,斯唐熱和我只想把我們合著的書《在時間與永恆之間》譯成英文出版。我們準備了若干個版本:一個是德文版,另一個是俄文版。但與此同時,在我們研究的數學表述方面取得了重要的進展。結果,我們放棄了原書的翻譯工作,著手寫一個新的版本,即最近出版的法文版《確定性的終結》。斯唐熱要求在這本新著中不作為合著者,而只作為合作者出現。我對她滿懷感激並尊重她的意願,但我想強調指出,沒有她的幫助,本書是不可能寫就的。我要對她表示最誠摯的感謝。    
  本書是布魯塞爾學派和奧斯丁學派數十年研究工作的結果。雖然物理思想早已明晰,但它們精確的數學表述只是在最近幾年才得到。在這裡,我想對這個學派的年輕成員和熱心的合作者表達感激之情,他們對構成本書基礎的時間之本性問題的新表述作出了重要貢獻。我要特別提到布魯塞爾的安東尼烏( Ioannis    
  Antoniou),奧斯丁的德裡貝(DeanDriebe)、長谷川(Hiroshi    
  Hasegawa)和彼得羅斯基(Tomio Petrosky),以及京都的多崎(Shuichi    
  Tasaki)。我還要提到我在布魯塞爾的老同事,他們奠定了使進一步進展成為可能的基礎。我感謝伯列斯庫(Radu    
  Balescu),德 · 哈恩( Michel     
  de Haan),埃寧(Francoise Henin),喬治(Claude George),格雷科斯(Alkis     
  Grecos)和邁內(Femand Mayne)。遺憾的是,雷西博斯(Pierre     
  Resibois)和羅森菲爾德(Leon Rosenfeld)不再和我們在一起了。    
  沒有許多機構的持續支持,本書呈現的工作是無法完成的。我特別感謝比利時的法蘭西共同體,比利時聯邦政府,布魯塞爾的國際索爾維研究所,美國能源部,歐洲聯盟,以及得克薩斯的韋爾奇基金會。    
  英語不是我的母語,所以我非常感謝得克薩斯大學奧斯丁分校的蘇達尚( E.C.George    
  Sudarshan)博士和德裡貝博士,以及倫敦的洛爾蒂默(David    
  Lortimer)博士,他們仔細閱讀了本書。我還要感謝我的法國出版商奧迪勒 · 雅各布( Odile     
  Jacob)女士,她鼓勵我撰寫這本新著。感謝我在美國的編輯莫羅(Stophen     
  Morrow)和肖布哈特(Judyth Schauhut),他們幫助我準備本書的英文版。    
  我堅信,我們正處在科學史中的一個重要轉折點上。我們走到了伽利略和牛頓所開闢的道路的盡頭,他們給我們描繪了一個時間可逆的確定性宇宙的圖景。我們現在卻看到確定性的腐朽和物理學定律新表述的誕生。         
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
作者附言    
   我力求本書通俗易懂,為廣大讀者所接受。然而,特別是在第五章和第六章,我決定涉及較多的專門細節,因為我提交的許多結果顯著偏離傳統觀點。儘管本書是數十年研究的成果,卻仍有許多問題有待解答。但考慮到我們每個人的生命有涯,我的工作成果就如此奉獻給大家。我不是想邀請讀者來參觀考古博物館,而是想讓讀者領略科學探險的樂趣。         
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
引言 一種新的理性?    
   本世紀初,波普爾( Karl Popper)在他所著的《開放的宇宙 —— 關於非決定論的論爭》一書中寫道: 「 常識傾向於認為每一事件總是由在先的某些事件所引起,所以每個事件是可以解釋或預言的。 …… 另一方面, …… 常識又賦予成熟而心智健全的人 …… 在兩種可能的行為之間自由選擇的能力。 」 這一詹姆斯( Wlliam  James)所稱的 「 決定論的二難推理 」 與時間的含義密切相關。未來是給定的還是不斷變化的結構?這個二難推理對每個人都非常重要,因為時間是我們存在的基本維度。正是把時間結合到伽利略物理學概念體系之中,標誌著近代科學的起源。    
  人類思想這一成就也是本書所述核心問題的根源,即對時間之失的否定。眾所周知,愛因斯坦( Albert  Einstein)常常說: 「 時間是一種錯覺。 」 的確,物理學基本定律所描述的時間,從經典的牛頓動力學到相對論和量子力學,均未包含過去與未來之間的任何區別。甚至對於今日的許多物理學家而言,這已是一種信念:就自然的基本描述而言,不存在什麼時間之矢。    
  然而,無論在化學、地質學、宇宙學、生物學或者人文學科領域,處處都可以見到未來和過去扮演著不同的角色。從物理學描述的時間對稱的世界如何產生時間之矢?這就是時間詳謬——本書的中心議題之一。    
  時間佯謬是在 19世紀下半葉維也納物理學家玻爾茲曼(Ludwig   Boltzfmann)的研究工作之後被確認的,他試圖倣傚達爾文(Charles   Darwinn)在生物學中的研究,系統闡述物理學中的演化方法。但在當時,牛頓物理學定律長期被公認為客觀知識的典範。由於牛頓定律隱含著過去與未來之間的等價性,因而,任何賦予時間之矢以基本意義的嘗試均因危及到這一典範而受到抵制。牛頓定律在它適用的領域被認為是終極完善的,這有點像今天許多物理學家把量子力學看作是終極完善的一樣。那麼,在不破壞人類思想的這些驚人成就的情況下,我們如何引入單向時間呢?    
  自從玻爾茲曼以來,時間之矢被貶低到現象學範疇。我們人作為不完善的觀測者,通過我們對自然的描述中引入近似,造成了過去與未來之間的差異。這依然是盛行的科學說法,有些專家悲歎我們立於科學無能為力和無法解決的奧秘面前。我們相信不再會是這樣了,原因在於最近的兩個進展:一方面是非平衡物理學,另一方面是肇始於混沌概念的不穩定系統動力學,二者都取得了長足的進展。    
  在過去幾十年間,一門新學科——非平衡過程物理學——誕生了。這門新學科產生了像自組織和耗散結構這樣一些概念,如今它們廣泛應用於許多學科,包括宇宙學,化學,生物學以及生態學和社會科學。非平衡過程物理學描述了單向時間效應,為不可逆性這一術語給出了新的含義。過去,時間之矢只是通過像擴散或粘性這樣的簡單過程出現在物理學中,在通常的時間可逆動力學未作任何擴展的情況下,這是可以理解的。但今天已非同以往。我們現在知道,不可逆性導致了諸如渦旋形成、化學振蕩和激光等許多新現象,所有這些現象都說明了時間之矢至關重要的建設性作用。不可逆性再也不會被認為是一種如果我們具備了完善的知識就會消失的表象。不可逆性導致了相干,其影響包含億萬個粒子。形象地說:不具備時間之矢的平衡態物質,是「盲目的」;具備了時間之矢,它才開始「看見」。沒有這種起因於不可逆非平衡過程的相干,很難想像地球上會出現生命。因此,斷言時間之矢「僅僅是現象學的」,或者是主觀的,皆屬荒謬。我們確實是時間之矢之子、演化之子,而不是其祖先。    
  修正時間概念的第二個重要進展是不穩定系統的物理學表述。經典科學強調有序和穩定性。現在,反過來,我們在觀測的所有層次上都看到了漲落、不穩定性、多種選擇和有限可預測性,像混沌這樣的思想已變得相當流行,影響著從宇宙學到經濟學,實際上所有科學領域的思想。我們將要表明,我們現在可以擴展經典物理學和量子物理學以包括不穩定性和混沌。這樣,我們會得到適合於描述我們的演化宇宙的自然法則的一種表述,其中包含時間之矢,而過去和未來也不再扮演對稱的角色。從經典觀點——包括量子力學和相對論——來看,自然法則表達確定性。只要給定了適當的初始條件,我們就能夠用確定性來預言未來,或「溯言」過去。一旦包括了不穩定性,情況就不再是這樣了,自然法則的意義發生了根本變化,因為自然法則現在表達可能性或概率。我們在此與西方思想的基本傳統之一(對確定性的信念)相牴觸。如同吉熱澤( gerd  Gigerenzer)等人在《機遇帝國》一書中所述, 「 儘管 2000年來的科學劇變把亞里士多德(Aristotle)與巴黎的貝爾納(Claude    
  Bernard)分開,他們至少共享一種信念:科學與原因有關,與機遇無涉。康德(Kant)甚至鼓吹構成所有科學知識必要條件的普適的因果決定論。 」    
  然而,也存在反對的呼聲。大物理學家麥克斯韋( James    
  Clerk Maxwell)就談到 「 一種新型的知識 」 會克服決定論的偏見。但總的來說,盛行的觀點是,概率是心智的狀態,不是世界的狀態。儘管量子力學已把統計概念囊括於物理學核心之中,如今仍然如此,但量子力學的基本對像波函數卻滿足確定性的時間可逆方程。要引人概率和不可逆性,量子力學的正統表述需要一個觀測者。    
  觀測者可以通過觀測在時間對稱的宇宙中引入不可逆性。再者,像在時間樣謬中一樣,從某種意義上說,我們對宇宙的演化模式負有責任。觀測者的這種作用,給量子力學塗上了主觀色彩。這也是妨礙愛因斯坦認可量子力學的主要原因。它引起了無休止的爭論。    
  把不可逆性或者時間流引入到量子理論中,觀測者的作用是一個必要的概念。然而,一旦證明不穩定性破壞了時間對稱性,觀測者就不再重要了。解決了時間樣謬,我們也就解決了量子佯謬,從而得到一個新的、量子論的實在論表述。這並不意味著回到經典決定論的正統觀念,恰恰相反,我們超出了與傳統量子論定律相聯繫的確定性,強調概率的基本作用。無論在經典物理學還是在量子物理學中,基本定律現在表達概率。我們不僅需要定律,而且需要把完全新穎的要素引入自然描述的事件。這種新要素使我們得到麥克斯韋所期望的「新型的知識」。對於經典概率論的奠基人之一棣莫弗( Abraham   De Moivre)來說,機遇既無法定義也難以理解。我們將表明,我們現在能夠把概率包括到物理學基本定律的表述之中。只要做到這一點,牛頓確定論就破產了;未來不再由過去所確定,過去與未來之間的對稱性被打破了。這使我們面對最困難的問題:什麼是時間之源?時間起源於大爆炸,還是先於我們的宇宙而存在?    
  這些問題把我們置於空間和時間的邊緣。詳細解釋我們主張的宇宙學含義,需要寫一本專著。扼要地說,我們認為,「大爆炸」是與產生我們宇宙的介質內的不穩定性相聯繫的一個事件,它標誌著我們宇宙的起源,但不代表時間的起源。儘管我們的宇宙有年齡,但產生我們宇宙的介質卻沒有年齡。時間沒有開端,也許亦無終點。    
  但是在這裡,我們開始涉足臆測的世界。本書的主要目的是提出低能區內自然法則的表述。這是宏觀物理學、化學和生物學的領域,亦是人類存在實實在在發生的領域。    
  時間和決定論難題,自從前蘇格拉底學者以來一直是西方思想的核心。在一個確定性世界裡,我們如何構想人的創造力或行動準則呢?    
  這一問題反映了西方人文主義傳統中存在的深刻的矛盾,這個傳統強調兩個方面,即知識和客觀性的重要性,以及個體責任和民主理想所蘊含的自由選擇。波普爾和其他許多哲學家都指出,只要自然單純由確定性科學所描述,我們就面臨無法解決的難題。把我們與自然界分離開來,是現代精神難以接受的一種二元論。我們在本書中的目標是顯示我們現在能夠克服這一障礙。倘若如塔納斯( Richard  Tarnas)所述, 「 西方世界的激情在於與其存在的基礎重新統一 」 ,那麼說我們正在接近我們激情的目標也許並不為過。    
  人類正處於一個轉折點上,正處於一種新理性的開端。在這種新理性中,科學不再等同於確定性,概率不再等同於無知。我們完全贊同勒克萊爾( YVor  Leclerc)的看法,他說: 「 在本世紀,我們遇到繼牛頓物理學在 18世紀取得勝利以來科學與哲學的分離。 」 布羅諾夫斯基( Jacob   Bronowski)如是很好表達了同樣的思想: 「 認識人性和認識自然界內的人類境況,是科學的一個中心課題。 」    
  在本世紀末,常常有人問科學的未來可能是什麼樣子。對於某些人,比如霍金( Stephen  W.Hawking),他在所著的《時間簡史》中指出,我們接近終結,即到了接近瞭解 「 上帝意志 」 的時刻。相反,我們認為,我們確實處於一個新科學時代的開端。我們正在目睹一種科學的誕生,這種科學不再局限於理想化和簡單化情形,而是反映現實世界的複雜性,它把我們和我們的創造性都視為在自然的所有層次上呈現出來的一個基本趨勢。         
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第一章  伊壁鳩魯的二難推理    
   I    
  宇宙是否由確定性定律所支配?時間的本質是什麼?這些問題在西方理性的萌發時期即已被前蘇格拉底學者闡述過了。 2500年之後,它們依然與我們同在。然而,與混沌和不穩定性相聯繫的物理學和數學最新進展,卻開闢了不同的研究道路。我們正開始用一種新的觀點審視這些涉及到人類在自然界中的地位的難題。我們現在可以避開過去的那些矛盾了。    
  希臘哲學家伊壁鳩魯( Epicurus)第一個表述了一個根本性的二難推理。作為德謨克利特(Democritus)的追隨者,他認為世界由原子和虛空組成。而且,他斷言原子以相同的速度平行地通過虛空下落。那麼,它們怎麼發生碰撞?與原子的組合密切相關的新奇性又如何出現呢?對伊壁鳩魯來說,科學的問題、自然的可理解性問題以及人的命運問題是不可分離的。在確定性的原子世界裡,人類自由的含義是什麼呢?伊壁鳩魯在給梅內蘇斯(Meneceus)的信中寫道: 「 我們的意志是自主的和獨立的,我們可以讚揚它或指責它。因此,為了保持我們的自由,保持對神的信仰比成為物理學家命運的奴隸更好。前者給予我們通過預言和犧牲以贏得神的仁慈的希望;後者相反,它帶來一種不可抗拒的必然性。 」 這一引語聽上去是多麼現代呀!西方傳統中最偉大的思想家們,像康德。懷特海( Alfred    
  North Whitehead)和海德格爾(Martin Heidegger),都一而再地感到,他們不得不在異化的科學與反科學的哲學之間作出悲劇性的選擇。他們試圖找到一些折衷辦法,但沒有一個辦法證明令人滿意。    
  伊壁鳩魯認為,他找到了解決這個二難推理困境的辦法,他稱之為傾向。盧克萊修( Lucretius)指出: 「 當一些物體因它們自身的重量而通過虛空直線下落,在十分不確定的時間和不確定的地點,它們就會稍稍偏離其軌道,稱之為改變了方向是恰如其分的。 」 然而,沒有任何機制可以解釋這種傾向。毫不奇怪,它總是被看作是一種外來的、隨意的因素。    
  但我們的確需要這種新奇性嗎?照波普爾的理解,對於赫拉克利特( Heraclitus)來說, 「 真理就是抓住自然的基本演化,即把它作為內在的無限之物,作為它自身的過程加以表述 」 。巴門尼德( Palmnides)則持相反觀點。他在其關於存在獨特實在的名詩中寫道: 「 它不是過去,也不是將來,正是現在,才是一切。 」    
  有趣的是,伊壁鳩魯的傾向在本世紀的科學中反覆出現。愛因斯坦在他關於光子發射與原子能級間躍遷的經典論文( 1916)裡,清楚地表達了他對科學確定論的信念,儘管他假設這些發射由機遇所支配。    
  希臘哲學不能解決這個二難推理。柏拉圖( Plato)將真理與存在聯繫在一起,即與演化之外不變的實在相聯繫。然而他感到了這種狀況的二難特徵,因為它貶低生命和思想。在《智者篇》中,柏拉圖斷言我們既需要存在也需要演化。    
  這種二元性直到現在仍在困擾著西方思想。如法國哲學家瓦爾( Jean    
  Wahl)所強調的,西方哲學史總的來說是一個不愉快的歷史,其特徵是在作為自動機的世界與上帝主宰宇宙的神學之間不斷地搖擺。兩者都是確定論形式。    
  這場爭論在 18世紀隨著 「 自然法則 」 的發現發生了轉折。最重要的例子就是牛頓的力和加速度關係定律。這一定律是確定性的,更重要的是,它是時間可逆的。一旦知道了初始條件,我們既可以推算出所有的後繼狀態,也可以推演出先前的狀態。此外,過去和未來扮演著相同的角色,因為牛頓定律在時間 t → -t反演下具有不變性。這導致了拉普拉斯妖的出現:拉普拉斯(Pierre-Simon    
  de Laplace)想像這個小妖有能力去觀察宇宙的現今狀態並預言其演化。    
  眾所周知,牛頓定律在 20世紀已被量子力學和相對論所取代。然而牛頓定律的基本特性 —— 確定性和時間對稱性 —— 卻倖存下來。不錯,量子力學不再涉及軌道而是與波函數相關(參見本章第 IV節和第六章),但重要的是,我們注意到量子力學的基本方程式薛定諤方程同樣是確定性的和時間可逆的。    
  依靠此種方程,自然法則導致了確定性。一旦初始條件給定,一切都是確定了的。自然是一個至少在原則上我們可以控制的自動機。新奇性、選擇和自發行為僅僅從人類的角度來看是真實的。    
  許多歷史學家認為,在這種自然觀中, 17世紀作為全能立法者的基督教上帝扮演了一個基本角色。神學和科學都對此表示許可。萊布尼茲(Gottfried    
  von Leibniz)寫道: 「 對一點點物質,如上帝之目那樣銳利的眼睛可以洞察宇宙中事物的整個過程,包括那些現存的、過去的和未來將發生的。 」 自然之確定性定律的發現,就這樣引導人們的知識更接近於神授的。不受時間影響的觀點。    
  受確定性時間可逆定律支配的被動自然概念對西方世界來說是非常明確的。在中國和日本,自然意味著「天然」。李約瑟( Joseph  Needham)在其傑作《東方與西方的科學和社會》中用反語告訴我們,中國學者歡呼耶穌會士宣告現代科學的勝利。對他們來說,自然受簡單、可知的法則所支配的思想簡直是人類中心蠢行的範例。按照中國傳統,自然是自發的和諧;所以,談論 「 自然法則 」 就是讓某種外部權威凌駕於自然之上。    
  在給偉大的印度詩人泰戈爾( Rabindranath    
  Tagore)的信中,愛因斯坦寫道:    
  如果月亮在其環繞地球運行的永恆運動中被賦予自我意識,它就會完全確信,它是按照自己的決定在其軌道上一直運行下去。    
  這樣,會有一個具有更高的洞察力和更完備智力的存在物,注視著人和人的所作所為,嘲笑人以為他按照自己的自由意志而行動的錯覺。    
  這就是我的信條,儘管我非常清楚它不完全是可論證的。如果有人想到了最後一個精確知道和瞭解的結論,那將幾乎沒有能不受那種觀點影響的人類個體,只要他的自愛不進行干擾。人防止自己被認為是宇宙過程中的一個無能為力的客體。但發生的合法性,例如它在無機界中多多少少地展露出來的,會停止在我們大腦的活動中起作用嗎?    
  對愛因斯坦來說,這似乎是與科學成就相一致的唯一主張。但這一結論現在如同它對伊壁鳩魯一樣難以接受。時間是我們基本的存在維度。自從 19世紀以來,哲學變得越來越以時間為中心,我們在黑格爾(Georg    
  Wilhelm Hegel)、胡塞爾(Edmund Husserl)、詹姆斯、柏格森(Henri    
  Bergson)、海德格爾和懷特海等人的工作中不難看到這一點。對於像愛因斯坦這樣的物理學家來說,這個難題已經解決了。但對哲學家而言,在人類存在的最基本意義上,它仍是認識論的中心問題。    
  波普爾在《開放的宇宙——關於非決定論的論爭》中寫道:「我認為,拉普拉斯決定論似乎是由物理學中自明的確定論理論及它們那令人難以置信的成功所鞏固的,它是我們認識和確證人的自由本性、創造性和責任中最頑固、最嚴重的困難。」對波普爾來說,「時間和變化的實在性是實在論的癥結。」    
  柏格森在一篇短文「可能與現實』中質問:「時間的角色是什麼?……時間阻止了所有事物同時給出。……它難道不是創造性和選擇的載體嗎?時間的存在難道不是自然界中非決定論的證明嗎?」對波普爾和柏格森而言,我們需要「非決定論」。但在決定論之外我們還能怎麼做呢?詹姆斯在「決定論的困境」一文中透徹地分析了這一困難。」決定論符合於精確定義的機械論,就像被牛頓、薛定諤和愛因斯坦所表述的自然法則所顯示的那樣,它是「可數學化的」。相反,對決定論的偏離似乎是引入了像機會或者機遇這樣一些擬人的概念。    
  時間可逆的物理學觀點與以時間為中心的哲學之間的矛盾,已經導致了一場公開的衝突。如果科學不能將人的經驗的一些基本方面結合在一起,那麼科學的目的是什麼呢?海德格爾的反科學態度是眾所周知的。尼采( Friedrich    
  Nietzsche)斷言,沒有事實,只有解釋。瑟爾(John R.Searle)指出,後現代哲學以其解構觀點對西方關於真理性、客觀性和實在性的傳統提出了挑戰。此外,演化和事件在我們關於自然的描述中的作用穩步增加。那麼,我們怎麼維持時間可逆的物理學觀點呢?    
  1994年10月,《科學美國人》雜誌出了一期 「 宇宙中的生命 」 專刊。在所有層次上,無論是宇宙學、地質學、生物學,還是人類社會,我們都看到了與不穩定性和漲落相關的演化過程。因而我們不能迴避這個問題:這些演化模式如何建立在物理學基本定律的基礎之上?只有一篇由著名物理學家溫伯格( Steven    
  Weinberg)寫的文章,與這一問題有關。他寫道: 「 我們雖然喜歡採用一種統一的自然現,但在宇宙中智慧生命的作用中仍遇到一個棘手的二元論。 …… 一方面,薛定諤方程以一種完美的確定論方法描述了任何系統的波函數如何隨時間而變化;另一方面,相當不同的一個方面,當有人進行測量時,又有一組原則規定如何用波函數推算各種可能結局的概率。 」    
  難道這表明,通過我們的測量,我們能回到宇宙演化的初始狀態嗎?溫伯格談到一個棘手的二元性,一種在現在的許多出版物中都能找到的觀點。例如,霍金在《時間簡史》中鼓吹一種宇宙學的純粹幾何學解釋。簡括言之,時間就是空間的機遇。但霍金也明白這一解釋是不夠的。我們需要一個時間之矢來研究智慧生命。因此,像其他許多宇宙學家一樣,霍金引入了所謂人存原理。但這一原理與伊壁鳩魯的傾向一樣武斷,霍金對於人存原理如何能從靜態的幾何宇宙中產生出來沒有作任何說明。    
  如上所述,愛因斯坦試圖以我們被視為純粹的自動機為代價,來維護包括人類在內的自然的統一。這也是斯賓諾莎( Baruch    
  Spinoza)的觀點。但也是在 17世紀,笛卡兒(Rene    
  Descartes)提出了另一種途徑,它涉及二元論的概念:一方面是由幾何學描述的物質    
  res extensa(廣延物);另一方面是與res cogitans(思想物)相聯繫的心智。 「 笛卡兒通過這種方法闡述了簡單物理系統(如無摩擦的擺)的行為與人腦的運作之間的顯著差異。奇怪的是,人存原理把我們帶回到了笛卡兒的二元論。    
  在《皇帝的新意》中,彭羅斯( Roger    
  Penrose)寫道: 「 正是我們目前缺乏對物理學基本定律的認識,妨礙了我們用物理學或邏輯學術語去掌握 『 心智 』 這一概念。 」 我們相信彭羅斯是對的:我們需要一種物理學基本定律的新表述。自然的演化方面必須用物理學基本定律來表達。只有這樣,我們才能給伊壁鳩魯的二難推理一個滿意的回答。非決定論和時間不對稱都必須在動力學中找到原因。那些不包含這些特徵的表述是不完備的,正如那些忽略引力或電磁相互作用的物理學表述一樣不完備。    
  概率在從經濟學到遺傳學的大多數學科中起著至關重要的作用。然而,認為概率不過是一種心智狀態的思想依然存在。我們現在必須走得更遠,必須顯示概率如何進入物理學(不管是經典物理學還是量子物理學)基本定律。目前,提出自然法則的新表述是可能的。我們通過提出新表述獲得了更能接受的描述,在這一描述中有自然法則的位置,也有新奇性和創造性的位置。    
  本章開頭,我們提到過前蘇格拉底學者。事實上,我們受益於人類歷史形成以來古希臘人的兩個理念:第一,是自然的「可理解性」,或用懷特海的話:「建立一個有條理的、邏輯的、關於普遍思想的必不可少的系統,使我們經驗的每個要素都能得到解釋。」第二,是建立在人的自由、創造性和責任感前提之上的民主思想。只要科學仍將自然描述為一架自動機,那麼,這兩個理念就是相互矛盾的。這正是我們要著手克服的矛盾。    
  II    
  在第 1節裡,我們強調了時間和決定論難題形成了科學與哲學之間,或換言之,斯諾(C.P.Snow)的 「 兩種文化 」 之間的分界線。但科學遠不是堅如磐石的集團。事實上, 19世紀給我們留下了雙重遺產:諸如牛頓定律那樣描述了一個時間可逆宇宙的自然定律;以及與熵相關聯的一種演化描述。    
  熵是熱力學的一個重要組成部分,熱力學是專門研究有時間方向的不可逆過程的一門學科。每個人在某種程度上都熟悉這些不可逆過程,像放射性衰變,或者是使流體的流動變慢的粘性。在時間可逆過程中,例如無摩擦擺的運動,未來和過去起著相同的作用(我們可以用未來的「 +t 」 替換過去的 「 -t 」 );不可逆過程與可逆過程相反,它有一個時間方向。過去準備的一塊放射性物質會在將來消失。由於粘性,液體的流動將會隨時間變慢。    
  時間方向的原初作用在我們研究的宏觀層次上,如化學反應或輸運過程中,是很明顯的。我們從會起反應的化學化合物開始。隨著時間的推移,它們達到平衡,反應停止。與此相似,如果我們從一種不均勻的狀態開始,擴散會將該系統引致均勻。太陽輻射就是不可逆核過程的結果。如果不考慮不計其數的決定天氣和氣候變化的不可逆過程,就不可能對生態圈進行描述。自然界既包括時間可逆過程,又包括時間不可逆過程,但公平地說,不可逆過程是常規,而可逆過程是例外。可逆過程對應於理想化:我們必須忽略摩擦以使擺可逆地擺動。此種理想化是成問題的,因為自然界中不存在絕對的虛空。如上所述,時間可逆過程由不因時間反演而改變的運動方程所描述,經典力學中的牛頓方程或量子力學中的薛定諤方程皆如此。然而對不可逆過程而言,我們需要一個打破時間對稱性的描述。    
  可逆過程和不可逆過程之間的差異,是通過與所謂熱力學第二定律相聯繫的熵的概念引入的。早在 1865年熵就由克勞修斯(Rudolf    
  Julius Clausius)所定義(熵在希臘文中就指 「 演化 」 )。按照熱力學第二定律,不可逆過程產生熵。相反,可逆過程使熵保持不變。    
  我們將反覆回到這個第二定律上來。現在,我們先回憶一下克勞修斯著名的表述:「宇宙的能量守恆。宇宙的熵增加。」熵的增加為發生在宇宙中的不可逆過程所致。克勞修斯的陳述是第一個以不可逆過程的存在為基礎的宇宙演化觀點的表述。愛丁頓( Arthur    
  Stanley Eddington)把熵稱作 「 時間之矢 」 。但從物理學基本定律來看,卻不應當存在任何不可逆過程。因此,我們看到,我們從 19世紀繼承了兩個相互矛盾的自然觀,即以動力學定律為基礎的時間可逆觀點和以熵為基礎的演化觀點。怎樣調和這些矛盾的觀點呢?過了這麼多年,這個難題依然與我們同在。    
  對維也納物理學家玻爾茲曼來說, 19世紀是達爾文的世紀。達爾文在這個世紀把生命確立為一個永無終結的進化過程的結果,從而將演化置於我們對自然的認識的中心。然而,對大多數物理學家來說,玻爾茲曼的名字如今卻與和達爾文的結論完全對立的結論聯繫在一起:玻爾茲曼被錯怪為證明了不可逆性僅僅是一種錯覺。玻爾茲曼的悲劇在於,試圖在物理學中取得達爾文在生物學中取得的成就 —— 卻陷於絕境。    
  乍看起來, 19世紀的這兩個巨人所用方法的相似之處是很顯著的。達爾文表明,如果我們從研究群體而不是從研究個體開始,就可以理解依賴於選擇壓力的個體易變性如何產生漂變。對應地,玻爾茲曼認為,從個體的動力學軌道開始,我們就不能理解熱力學第二定律及其所預言的熵的自發增加;我們必須從大的粒子群體開始。熵增是這些粒子間大量碰撞造成的全局漂變。    
  1872年,玻爾茲曼發表了著名的H定理,它包括熵的一個微觀類似物H函數。H定理說明每一個瞬間都會改變粒子速度的碰撞的結果。它表明,碰撞導致粒子群體的速度分佈接近於平衡態(這被稱為麥克斯韋一玻爾茲曼分佈)。隨著粒子群體趨近平衡態,玻爾茲曼的H函數減小,且在平衡態時達到其最小值,這個最小值意味著碰撞不再改變速度的分佈。所以,對玻爾茲曼而言,粒子碰撞就是導致系統平衡的機理。    
  玻爾茲曼和達爾文都用對群體的研究取代了對「個體」的研究,並表明細微的變化(個體的易變性或微觀的碰撞)在發生了一段長時間之後會在一個集體層次上產生進化。(在後面的章節裡,我們還要回到群體的作用上來。)恰如生物進化不能在個體層次上加以定義,時間流也是一個全局的性質(參見第五、第六章)。但在達爾文力圖解釋新物種的出現時,玻爾茲曼描述了趨向於平衡和均勻的演化。意味深長的是,這兩種理論的命運呈鮮明對照。達爾文的進化論頂住猛烈的攻擊而獲勝,它仍然是我們認識生命的基礎。相反,玻爾茲曼對不可逆性的解釋卻屈服於對它的批評,玻爾茲曼逐漸被迫退縮了。他不能排除「反熱力學」進化的可能性,這種進化是熵減少和非均勻性自發增加(而不是被抹平)的結果。    
  玻爾茲曼所面臨的局面確實是激動人心的。他確信,為了認識自然,我們必須包括進化的特徵,並且熱力學第二定律所描述的不可逆性是邁向這一方向的關鍵一步。然而他又是動力學優良傳統的繼承人,認識到這個傳統阻礙了他賦予時間之矢一個微觀意義。    
  從今天的有利觀點來看,玻爾茲曼必須在他那物理學應當認識演化的信念和他對物理學傳統的忠誠之間作出選擇,這顯得特別痛心。他的嘗試以失敗告終的事實在今天看來不言而喻。每個大學生都學過,軌道是時間可逆的,它允許未來和過去沒有差別。正如龐加萊( Hedri    
  Poincare)所述,靠時間可逆過程的軌道來解釋不可逆性,雖然努力不計其數,但顯然是一個純粹的邏輯錯誤。假設我們將所有分子的速度符號都顛倒過來,於是系統進入它自己的 「 過去 」 。即使熵在速度反演之前是增加的,現在它也將會減少。這就是洛施密特( Joseph    
  Loschmidt)的速度反演佯謬,它是玻爾茲曼不能排除反熱力學行為的原因。面對嚴厲的批評,玻爾茲曼用一個基於我們缺乏信息的概率的解釋取代了他對熱力學第二定律的微觀解釋。    
  在由大量的分子( 10 23 個或阿伏伽德羅常量數量級)形成的複雜系統中,如氣體或液體,顯然我們不能計算每一個分子的行為。因此,玻爾茲曼引入了一個假設,即此種系統的所有微觀狀態都具有相同的先驗概率。差異與由溫度、壓強和其他參量所描述的宏觀狀態有關。玻爾茲曼用計算產生宏觀狀態的微觀狀態的數量來定義每一個宏觀狀態的概率。    
  玻爾茲曼可能讓我們想像,例如,一個容器被分成彼此相通的兩個相等的室,這個容器包含了數目眾多的分子,設為 N個。儘管我們不能跟蹤每一個分子的軌跡,但通過測量一個宏觀量,如每個室的壓強,我們可以確定它所包含的分子數目。我們還可以設一個起點,即物理學家通常所稱的 「 初態 」 ,這裡,兩個室中的一個幾乎是空的,我們能預期觀察到什麼呢?隨著時間的推移,分子將向那個空室遷移。事實上,絕大多數所有可能的微觀狀態相當於那種每個室包含相同數目分子的宏觀狀況。這些狀態就相當於平衡態,即兩個室的壓強相等。一旦達到了這種狀態,分子將會繼續從一個室遷移到另一個室,但平均來說,遷移到右室和遷移到左室的分子數將是相等的。撇開一些小的、短暫的漲落不談,兩個室中的分子數將隨時間保持不變,平衡態將得以保持。不過,在這種論證中有一個根本的弱點,即自發的、長時期偏離平衡態並非是不可能的,縱如玻爾茲曼所言乃是 「 不大可能的 」 。    
  玻爾茲曼以概率為基礎的解釋,使我們觀察的宏觀特徵成為我們觀察到的不可逆性的原因。假如我們能夠跟蹤分子的個體運動,就會看到一個時間可逆的系統,這個系統中每個分子都遵從牛頓物理學定律。因為我們只能描述每個室中的分子的數目,所以,我們認為系統逐漸向平衡態演化。按照這種解釋,不可逆性不是自然的基本法則,而僅僅是我們觀察到的、近似的宏觀特徵的結果。    
  策梅洛( Ernst    
  Zermelo)引證龐加萊復規定理對玻爾茲曼論證洛施密特反演佯謬提出了批評。這一定理指出,如果我們等待足夠長的時間,就會觀察到動力系統自發地回歸我們希望接近初態的一種狀態。物理學家斯莫盧霍夫斯基(Roman    
  Smoluchowki)斷言, 「 如果我們的觀察延續不可計數長的時間,一切過程都將表現出是可逆的。 」 這直接適用於玻爾茲曼的二室模型。經過足夠長的時間以後,初始時的空室又會變成空的。不可逆性僅僅相當於一種不具有任何根本性意義的表象。    
  我們現在回到第 I節中所討論的情況。我們所以與宇宙的演化特徵相關,是由於我們自己的近似,要使這樣一種論證可信,使不可逆性成為我們的近似的結果,第一步就是把第二定律的結果當作是無足輕重的和顯而易見的。蓋爾曼(Murray    
  Gell-Mann)在他的近著《夸克和美洲豹》中寫道:    
  〔對不可逆性的〕解釋是,將釘子和便士混合起來的方法比把它們分開的方法更多;將花生醬和果凍相互混雜在一起的方法比將它們完全分離的方法多得多;把氧氣和氮氣混合起來的方法比把它們分離開來的方法更多。推而廣之,機遇在起作用,具有某種秩序的封閉系統將很可能向提供了如此之多概率的無序轉變。如何計算這些概率呢?一個被精確描述的全封閉系統可以以很多狀態存在,這些狀態被稱為微觀態。在量子力學中,這些態被理解為系統可能的量子態。這些微觀態按照粗粒化所區分的不同性質而分類(有時稱為宏觀態)。於是,給定宏觀態中的微觀態被看作是等價的,它們只在數目上起作用。……    
  熵與信息密切相關。事實上,滴可以被認為是無知    
  的量度。當只知道系統處於一個給定的宏觀態時,這個宏觀態的熵表徵其中微觀態無知的程度,但要計算出附加的信息量就需要對其進行詳細說明,將宏觀態中的所有微觀態都看作同樣概然的。    
  類似的論證可以在許多討論時間之矢的書中找到。我們認為這些論證都是站不住腳的。它們暗示了正是我們的無知,我們的粗粒化,導致了第二定律。對於一個消息靈通的觀察者,如麥克斯韋所想像的「妖」,這個世界表現得完全地時間可逆。我們似乎是時間之父,演化之父,而不是時間之子。無論我們實驗的精度如何,不可逆性總是存在。這表明,那種把這些性質歸因於不完備信息的觀點不足為信。值得注意的是,普朗克( Max    
  Plank)早就反對描述第二定律的不完備信息的觀點。他在《論熱力學》一書中寫道:    
  第二定律的有效性以種種方式依賴於進行觀測或實驗的物理學家或化學家的技能,這種假設是荒唐的。第二定律的主旨與實驗無關;這個定律簡明指出,自然界中存在一個量,它總是在所有自然過程中以同樣方式變化。    
  這一普遍形式所述的觀點可能正確,亦可能不正確;但無論它正確與否,它將依然如此,不管地球上是否存在思考和觀測的生物,以及假定他們存在,亦不管他們是否能夠以 1位、2位乃至100位小數點的精度測量物理或化學過程的細節。這個定律的局限(如果有的話),必定同它的基本思想一樣,存在於相同的範疇之中,存在於受觀測的自然,而不在於觀測者。這個定律的演繹所要求的人的經驗是無足輕重的;因為,事實上,它是我們獲取自然法則知識的唯一途徑。    
  然而,普朗克的觀點仍然是孤立的。我們講過,大多數科學家都把第二定律看作近似的結果,或看作主體觀點向物理世界的入侵。玻恩( Max    
  Born)就在一句名言裡斷言, 「 不可逆性是無知介入物理學基本定律的後果。 」    
  我們認為,用傳統方式表述的物理學定律描述了一個理想化的、穩定的世界,一個與我們所生活的動盪的、演化的世界完全不同的世界。拋棄不可逆性平庸化的主要原因是,我們不再把時間之矢僅僅與無序增加相聯繫了。非平衡物理學和非平衡化學的最新進展就指向了相反的方向。它們明確表明,時間之矢是秩序的源泉。這在 19世紀以來就已周知的諸如熱擴散這樣的簡單實驗中已經表現得很清楚了。我們考察一個包含兩個組分(氫氣和氮氣)的容器,加熱容器的一端而冷卻另一端(見圖1.1)    
  。當其中一個組分充滿熱的部分而另一個組分充滿冷的部分時,系統演化到一個定態。不可逆的熱流產生的熵導致建序過程,這種過程離開熱流是不可能發生的。不可逆性既導致有序也導致無序。    
  不可逆性的這種建設性作用在非平衡導致新形式的相幹那種遠離平衡的情況中甚至更為顯著。(在第二章,我們要回到非平衡物理學。)我們現在知道,正是通過與時間之矢相聯繫的不可逆過程,自然才達到其優美和複雜之至的結構,生命只有在非平衡的宇宙中才有可能出現。非平衡導出了一些概念,這些概念我們將在第二章詳細介紹,如自組織和耗散結構。在《從存在到演化》一書中,基於過去數十年非平衡物理學和非平衡化學的顯著發展,我們總結了以下的結論:    
  1.不可逆過程(與時間之矢相關)像物理學基本定律描述的可逆過程一樣真實,它們並非相當於加在基本定律上的近似。    
  2.不可逆過程在自然中起著基本的建設性作用。    
  這些概念對關於動力學系統的新潮思想有什麼影響呢?玻爾茲曼十分清楚,在經典動力學中根本不存在不可逆性的類似物,於是,他斷言,不可逆性只能從關於我們宇宙早期階段的假定中導出。我們可以維持我們對動力學的通常表述,但我們必須用適當的初始條件來補充它們。在這種觀點看來,原初宇宙是非常有組織的,從而處於一種不大可能的狀態——一種許多近著中仍然接受的看法。我們宇宙中盛行的初始條件導致許多有意義的、基本上懸而未決的難題(見第八章),但我們認為玻爾茲曼的論證不再站得住腳了。不管過去如何,目前存在著兩類過程:現有動力學的應用已證明很成功的時間可逆過程(亦即在經典力學中月球的運動或在量子力學中氫原子的運動),以及過去和未來之間存在不對稱性的不可逆過程(如加熱情形)。我們的目標是提出一種新的物理學表述,它與任何宇宙學考慮無關地解釋這些性態之間的差異。對於不穩定系統和熱力學系統,這確實可以做到。我們可以克服時間可逆動力學定律與以熵為基礎的自然演化觀之間表面上的矛盾。但我們不要超越我們自己。    
  大約 200年前,拉格朗日(Jossph-Louis    
  Lagrange)以牛頓定律為基礎把分析力學描述為數學的一個分支,在法國科學文獻中,它常被稱作 「 理性力學 」 。在這種意義上,牛頓定律確定了理性的定律並代表一種絕對普遍性真理。自從有了量子力學和相對論,我們開始知道這並不是那麼回事。現在,將類似的絕對真理地位賦予量子理論的誘惑又很強烈。在《夸克和美洲豹》一書中,蓋爾曼斷言, 「 量子力學不僅僅是一個理論,它更是所有當代物理學都必須適合的框架。 」 真的是這樣嗎?我已故的朋友羅森菲爾德( Leon    
  Rosenfeld)指出: 「 每一個理論都是以通過數學的理想化所表達的物理概念為基礎的,它們被引進用以給出對物理現象的恰當描述。如果不知道其有效範圍,沒有一個物理概念是被充分定義的。 」    
  我們將要描述的,正是物理學基本概念,諸如經典力學中的軌道或量子理論中的波函數,所需的這一「有效範圍」。這些界限與我們將在下一節中簡要介紹的不穩定性和混沌概念是相關的。一旦我們包括了這些概念,就得到了自然法則的新表述。這個法則不再建立於確定性定律情形下的確定性,而是建立於概率之上。而且,在這種概率表述中,時間對稱性被打破了。宇宙的演化特性必然在物理學基本定律之中得到反映。記住懷特海所敘述的關於自然可理解性的思想(見第 1節):我們經驗中的每一個要素都必須被包括在一個由普遍概念組成的連貫系統中。以這種自然法則的重新表述為基礎,我們現在就可以完成玻爾茲曼在一個多世紀前所開拓的工作。    
  值得注意的是,許多大數學家,如波萊爾( Emile    
  Borel),也明白有必要克服決定論。波萊爾指出,對孤立系統(如月球-地球系統)的考察總是理想化作法,只要我們離開這一還原論觀點,決定論就會垮台。 」 這正是我們的研究所要顯示的。    
  III    
  每個人在一定程度上都熟悉穩定系統和不穩定系統的區別。例如,考慮一個擺,假設它最初處在平衡態,此時它的勢能最小。若小小的擾動之後它返回平衡態(參見圖 1.2),這系統表示一個穩定平衡態。相反,若我們把一支鉛筆用頭部立起來,則最小的擾動都會使它倒下,這給我們一個不穩定平衡態的模型。    
  在穩定運動和不穩定運動之間有一個基本的差別。簡言之,穩定動力學系統是初始條件的小變化產生相應小影響的系統;但對一大類動力學系統來說,初始條件的小擾動會隨時間被放大。混沌系統是不穩定運動的極端例子,因為不同初始條件確認的軌道,不管多麼接近,都會隨時間推移指數地發散。這就叫 「 對初始條件的敏感性 」 。一個通過混沌而放大的經典例證是 「 蝴蝶效應 」 :蝴蝶在亞馬孫流域扇動它的翅膀就可能影響到美國的天氣。我們在後面還會看到混沌系統的一些例子(參見第三章和第四章)。    
  確定性混沌這一術語也已進入混沌系統的討論。如牛頓動力學中的情形所示,運動方程確實是確定性的,即使某個特定的結局是貌似隨機的。不穩定性這一重要角色的發現,導致了以前當作是一個封閉學科的經典動力學的復甦。事實上,直到最近,牛頓定律所描述的所有系統都被認為是相似的。當然,眾所周知,下落石頭的軌道問題比「三體問題」,如太陽、地球和木星的環繞問題,要容易解決得多。然而這一問題更多地被認為是一個單純的計算問題。到 19世紀末,龐加萊才表明事實並非如此。問題取決於動力學系統是否穩定而有根本的差異。    
  我們提到了混沌系統,但還有其他類型的不穩定性有待考察。讓我們首先用定性的術語,在不穩定性導致動力學定律範圍擴展的意義上進行描述。在經典動力學中,初始條件由位置 q和速度v(或者動量p)確定。[注]    
  一旦這些量已知,我們就可以用牛頓定律(或任何其他的動力學等效表述)來確定軌道。我們可以在坐標和動量所形成的空間中用點(q 0 ,p 0 )表示動力學狀態,這就是相空間(圖1.3)。除了考慮單個系統,我們也可以考慮一簇系統 ——「 系綜 」 ,它自本世紀初愛因斯坦和吉布斯( Josiah    
  Willard Gibbs)的先驅性工作以來被如是稱呼。    
  [注]為簡便起見,甚至我們考慮的系統由多個粒子組成時,我們仍使用一個字母。    
  在這裡,複述一下吉布斯的《統計力學基本原理》一書著名前言中的部分內容是有益的:    
  我們可以想像許多性質相同的系統,這些系統在給定時刻的構造和速度不同,不僅僅是細微地不同,而且它所以不同乃是為了包含每一種可想像的構造和速度組合。我們在此提出問題,不是通過相繼的構造跟蹤一個特定系統,而是確定整個系統在任何給定時刻如何分佈於各種可信的構造和速度之中,其時分佈已形成了一段時間。……    
  經驗上確定的熱力學定律表達大量粒子系統的近似的、可能的行為,或更準確地說,它們把此種系統的力學定律表達為好似多個人,這些人沒有本事把握與單個粒子相關的數量級的量,他們也不能足夠多地重複其實驗,以獲得哪怕是最可能的結果。    
  吉布斯通過系綜方法把群體動力學引入了物理學。系綜由相空間中的點「雲」來描述(參見圖 1.4)。這種點雲由一個有簡單物理解釋的函數 ρ ( q,p,t)來描述:即在時刻t,在一個圍繞著點(q,p)的相空間小區域內找到一個點的概率。軌道對應於一種特殊情形,其中函數 ρ 除在點( q 0 ,p 0 )以外處處都為零,這種狀況由 ρ 的一個特殊形式來描述。那些除了在一個點外,在其他各處都為零的函數叫做狄拉克函數 δ ( x)。函數 δ ( x-x 0 )對所有x ≠ x 0 的點都為零。因此,對零時刻的單個軌道來說,分佈函數 ρ 的形式是 ρ = δ ( q-q 0 ) δ ( p-p 0 )。[注]以後我們還會回到 δ ( x)函數的特性上來。    
  [注]我們取x=x 0 時,函數 δ ( x-x 0 )向無窮大發散。所以,與連續函數x或Sinx相比, δ 函數具有 「 反常的 」 特性。它被稱為廣義函數或廣義分佈(不要與概率分佈 ρ 相混淆)。廣義函數往往與檢驗函數中 φ ( x)一同使用,檢驗函數亦是連續函數[即 ∫ dx φ (x) δ (x-x 0 )= φ (x 0 )]。還應注意,在時刻t,對於以速度p 0 /m運動的自由粒子,我們有概率 ρ = δ (p-p 0 ) δ (q-q 0 -p 0 t/m),    
  因為動量保持不變,坐標隨時間呈線性變化。這兩個描述層次, 「 個體 」 層次(對應於單個軌道)和 「 統計 」 層次(對應於系綜)是等價的。    
  但是如吉布斯所清楚闡述的,當得不到精確的初始條件時,系綜的方法不過是一個方便的計算工具而已。在他們看來,概率表達的是無知,是信息不足。甚至從動力學觀點來看,對個體軌道和概率分佈的討論總是被認為是等價的問題。我們可以從個體軌道出發,然後推出概率函數的演化,反之亦然。概率ρ只是對應於軌道的疊加,並不導出任何新的特性。    
  真的總是如此嗎?這對我們不期待任何不可逆性的簡單穩定系統來說的確是如此。吉布斯和愛因斯坦是對的,個體觀點(就軌道而言)和統計觀點(就概率而言)是等價的。這很容易證實,我們將在第五章回到這一點上來。不過,這對不穩定系統來說也是對的嗎?在分子水平上涉及不可逆過程的所有理論,如玻爾茲曼的動理學理論,這些理論都涉及概率而不涉及軌道,又會怎樣呢?這又是因為我們的近似,我們的粗粒化嗎?那我們如何解釋動理學理論對稀薄氣體諸如熱導率和擴散等許多性質定量預言的成功,所有這些都被實驗所證實呢?    
  龐加萊對動理學理論的成功倍加讚許,他寫道:「也許氣體動理學理論會作為一種模型使用……物理學定律將有一種全新的形式,它們將具有統計的特徵。」這確實是先知之言。玻爾茲曼引進概率作為經驗工具,這是特別大膽的一步。 100多年以後的現在,我們開始理解概率概念在我們從動力學走向熱力學時如何形成。不穩定性破壞了描述的個體層次與統計層次的等價性,於是概率獲得了一個內在的動力學意義。這一認識導出了一種新型物理學,即本書的主題 —— 群體物理學。    
  要解釋我們說的是什麼含義,考慮一個簡化的混沌例子。假設在如圖 1.4所示的相空間內,我們有兩種記為+或-的運動(亦即運動 「 上 」 域 「 下 」 ),這樣我們就有兩種用圖 1.5和圖1.6表示的情形。在圖1.5中,相空間裡有兩個不同的區域,一個對應於運動-,另一個對應於運動+。若我們不管靠近邊界的區域,則每一個`-    
  被- 包圍,每一個+ 被+    
  包圍,這對應於穩定系統。初始條件的小變化不改變結果。    
  相反,在圖 1.6中,每一個+    
  被-    
  包圍,反之亦然。初始條件的微小變化被放大,故這個系統是不穩定的。這種不穩定性的一個首要結果是,現在軌道變得理想化了。我們不再能準備單一軌道,因為這意味著無限的精度。對穩定系統而言,這沒有什麼意義,但對於具有對初始條件敏感性的不穩定系統,我們只能給出包括多種運動形式的概率分佈。這種困難僅僅是一個操作困難嗎?是的,如果我們考慮軌道現在變成不可計算的話。但還有更多的難題:概率分佈允許我們在動力學描述的框架內把相空間複雜的微觀結構包括進去。因此,它包含附加的信息,此種信息在個體軌道的層次上不存在。我們將在第四章看到,這具有根本性的結論。在分佈函數 ρ 的層次上,我們得到一個新的動力學描述,它允許我們預言包含特徵時間尺度的系綜的未來演化,這在個體軌道層次上是不可能的。個體層次與統計層次間的等價性實實在在地被打破了。對於不可約概率分佈 ρ ,我們得到新的解,因為它們不適用於單個軌道。混沌定律不得不在統計層次上進行表述,這就是我們在前面一節中談到不能以軌道來表達的動力學的推廣的含義。這就引出了一種我們在過去從未遇到過的情形。初始條件不再是相空間中的點,而是由 ρ 在初始時刻 t=o時所描述的某個區域。因此,我們有一個非局域描述。軌道依然存在,但它們是隨機的概率過程的結局。不論如何精確地配合我們的初始條件,我們都得到不同的軌道。而且,我們將看到,時間對稱性被打破了,因為過去和未來在統計表述中扮演著不同的角色。當然,對穩定系統而言,我們通過確定性軌道回到通常的描述。    
  為什麼要把那麼多時間花在給自然法則一個包括不可逆性和概率的推廣上?其中的一個原因是思想意識原因——意欲在我們對自然的描述中實現一個准神靈的觀點。然而,這裡仍然存在一個專門的數學難題。我們的工作基於一個在最近幾十年才達到前沿的數學領域——泛函分析——的新進展。我們將看到,我們的表述需要一個擴展的泛函空間。這個新的數學領域目前在認識自然法則中扮演著十分重要的角色,它使用被芒德布羅( Benoit    
  Mandelbrot)稱為分形的廣義函數。 」 我們需要一種 「 神靈 」 觀點來保留確定論思想。但沒有任何人的測量,沒有任何理論預言能以無限精度給我們初始條件。    
  考慮拉普拉斯妖在確定性混沌的世界裡變成什麼,是有意義的。除非他以無限精度知道初始條件,否則他不再能預測未來。只有那樣,它才能繼續使用軌道描述。但有一種更強大的不穩定性,無論初始描述的精度如何,它都會使軌道破壞。這種形式的不穩定性極其重要,因為它既適用於經典力學又適用於量子力學。    
  我們的故事確實始於 19世紀末龐加萊的工作。按照龐加萊,動力學系統由其粒子的動能加上粒子相互作用產生的勢能來描述。一個簡單的例子是自由的無相互作用的粒子。在這裡沒有勢能,而且軌道的計算是平凡的,這樣的系統被定義為可積的。龐加萊問,是不是所有的系統都可積?我們能否選擇適當的變量來消去勢能?通過顯示這通常是不可能的,他證明了動力學系統基本上都是不可積的。    
  在此有必要稍加停頓,仔細思考一下龐加萊的結論。假設龐加萊證明所有的動力學系統都是可積的,這將意味著所有的動力學運動與自由無相互作用粒子是同構的。這將沒有時間之矢的立足之地,因而也就沒有自組織和生命本身的立足之地。可積系統描述的是一個靜態的、確定性的世界。龐加萊不僅證實了不可積性,而且指明了造成不可積性的原因,即自由度之間共振的存在。我們將在第五章更詳細地看到,每一種運動形式都對應於一個頻率,這方面最簡單的例子是給走質點和中心點的諧振子。質點受到的力與它離開中心點的距離成正比,如果我們將質點從中心拉開,它會以一個確定的頻率振動。正是通過這些頻率,我們得到共振這個對龐加萊定理十分重要的概念。    
  我們都多多少少熟悉共振的概念,當我們迫使彈簧離開其平衡位置,它將以一個特徵頻率振動。現在給彈簧施加一個外力,這一外力具有可變的頻率。當彈簧的頻率與外力的頻率二者有一個簡單的數字比率(即其中一個頻率是另一個頻率的數倍)時,彈簧的振幅將急劇加大。當我們在一件樂器上演奏一個音符時會發生同樣的現象。我們會聽見諧音。共振「耦合」聲音。    
  現在考慮由兩個頻率所刻畫的系統。根據定義,只要 n 1 ω 1 + n 2 ω 2 = 0,其中nl和n 2 都是非零整數,我們就得到了共振。這表明 ω 1 / ω 2 =-n 2 /n 1 ,即頻率之比為有理數。龐加萊已表明,共振在動力學中帶來具有 「 危險的 」 分母 1/(n 1 ω 1 +n 2 ω 2 )的項,只要有共振(即相空間中的點滿足 n 1 ω 1 +n 2 ω 2 =0),這些項就會發散。其結果是,我們計算軌道時會碰到障礙。    
  這就是龐加萊不可積性的來源。 18世紀的天文學家就已知道 「 小分母問題 」 ,但龐加萊定理表明,這一困難是絕大多數動力學系統所共有的。龐加萊將其稱為 「 動力學的普遍問題 」 。然而,在相當長的時期裡,龐加萊結果的重要性被忽視了。    
  玻恩寫道:「如果自然界以多體問題的解析困難為後盾,使自己強大起來以抵禦知識進步,是十分不同尋常的。」很難相信一種技術上的困難(由於共振而導致的發散)能改變動力學的概念結構。我們現在從一個不同的角度來看這一問題。對我們來講,龐加萊的發散是一個良機。事實上,我們現在可以超出龐加萊的消極陳述,並表明不可積性和混沌一樣為動力學定律的新統計表述鋪平了道路。由於科爾莫戈羅夫( Andrei    
  N.Kolmogorov)及隨後阿諾德(Vladimir IgorevichArnold)、莫澤(Jurgen    
  Kurt Moser)的工作(所謂 KAM理論),人們終於理解了不可積性,這在龐加萊之後又花了60年的時間。不可積性不是玻恩所言自然界抵制知識進步的令人沮喪的表現,而是動力學的新起點。    
  KAM理論處理共振對軌道的影響。頻率。通常依賴於動變量如坐標和動量的值,它們在相空間不同點的取值不同。其結果是,有些點由共振來刻畫,而另一些點則不然。對於混沌來講,這又將使其相空間達到特別複雜的程度。按照KAM理論,我們觀察到兩類軌道: 「 正經的 」 確定性的軌道,以及與共振相關聯的在相空間無規律地漫遊的 「 散漫的 」 軌道。    
  這一理論另一個重要結果是,當我們增加能量值時,隨機性佔據的區域會隨之擴大。對於某個臨界能量值,會出現混沌:隨著時間的推移,我們看到相鄰軌道呈指數發散。而且,對於充分發展的混沌來說,由軌道產生的點雲會導致擴散,但擴散與我們將來達到均勻性的方法相關聯。它是一個產生熵的不可逆過程(見第 1節)。雖然我們從經典動力學出發,我們現在卻觀察到時間對稱性的破缺。這如何可能,正是我們為了克服時間佯謬而必須解決的主要問題。    
  龐加萊共振在物理學中扮演著基本角色。光的發射或吸收是共振所致,因為它是使相互作用的粒子系統達到平衡的途徑。相互作用的場也導致共振。事實上,很難在經典物理學或量子物理學中找到一個共振在其中沒有扮演顯著角色的重要問題。但是,我們如何克服與共振相關聯的發散呢?對此已取得了一些重要進展。如在第 III節中,我們必須區分個體層次(軌道)和統計層次(由概率分佈 ρ 描述的系綜)。在個體層次上我們有發散,但這些發散在統計層次上可以得到解決(參見第五、第六章),共振在統計層次上產生與共鳴導致的伴聲大致類似的事件耦合。其重要特點是,出現了與軌道描述不相容的、新的非牛頓項。這並不奇怪。共振不是局域事件,因為它們並非在給定地點或給定時刻發生。共振蘊涵著非局域描述,所以不能包含在與牛頓動力學相關聯的軌道描述之中。我們將要看到,共振導致了擴散運動。當我們從相空間的一個點 P 0 出發,我們不再能肯定地預言經過一段時間。之後其新位置Pt。簡言之,初始點    
  P 0 以明確的概率產生許多可能的點P 1 ,P 2 ,P 3 。    
  在圖 1.7里,區域D中的每個點有一個在時刻。出現的非零概率或明確的轉移概率。這種情況類似於 「 無規行走 」 或 「 布朗運動 」 的情形。在最簡單的情況裡,這一條件可以用粒子在一維點陣中的運動來說明,點陣以規則的時間間隔作一步轉移(參見圖 1.8)。    
  在每一步,質點往左去和往右去的概率均為 1/2。在每一步,未來都是不確定的。從一開始,就不可能談到軌道。從數學上來講,布朗運動由擴散型方程(稱為福克爾-普朗克(Fokker-Planck)方程)描述。擴散是有時間方向的。如果我們從位於同一源的點雲出發,隨著時間的推移,這個點雲將分散,一些粒子出現在遠離源頭的地方,另一些則出現在離源頭較近的地方。令人矚目的是,從經典動力學出發,共振精確地導出了擴散項,也就是說,共振甚至在經典力學框架中引入了不確定性,並打破了時間對稱性。    
  對於可積系統而言,當這些擴散因素不存在時,我們就會回到軌道描述,但是總體上,動力學定律必須在概率分佈層次上進行表述。因而,基本問題是:在什麼情況下,我們可以預期成為可觀察量的擴散項?當做到這一點時,概率變成自然的基本屬性。這是有關確定牛頓動力學有效範圍的問題(或有關我們下一節將要考慮的量子理論的有效範圍問題),它不啻是一次觀念上的革命。幾個世紀以來,軌道被看作是經典物理學基本的、原始的客體。相反,我們現在則把軌道看作是共振系統的有效範圍,在第五章我們將回到這個問題上來,在第六章針對量子力學討論一個平行的問題。然而,此時我們先給出一些暫時的回答。對於瞬時相互作用(一束粒子與障礙物碰撞並逸出),擴散項可以被忽略;但對於持續相互作用(一束穩定的粒子流落在障礙物上),擴散項就起支配作用了。在計算機模擬時,如同在真實世界中一樣,我們可以再現這兩種情況,因而可以檢驗我們的預言。結果毫不含糊地表明,對持續相互作用出現擴散項,於是導致牛頓力學描述以及正統的量子力學描述的失敗。在這兩種情況下,與在確定性混沌中一樣,我們都得到「不可約的」概率描述。    
  但還有另一個更值得注意的情況。宏觀系統通常用熱力學極限來定義,按照熱力學極限,無論粒子數 N還是體積V都變大。我們將在第五章和第六章研究這一極限。在與這一極限相聯繫的現象的觀測中,物質的新屬性變得顯而易見。    
  如果我們僅僅考慮少量粒子,就不能說它們是否形成液體或氣體。物質的狀態和相變最終由熱力學極限所定義。相變的存在表明,當我們採取還原論者態度時必須謹慎行事。相變對應於突現屬性。它們在單個粒子的層次上毫無意義,只有在群體層次才有意義。這種爭論在某種程度上與基於龐加萊共振的爭論類似。持續相互作用意味著我們不能將系統的一部分取出來孤立地加以考慮。正是在這種全局層次,在群體層次上,過去和未來之間的對稱性被打破了,科學可以承認時間流。這解決了一個長期存在的難題。實際上,在宏觀物理學中,不可逆性和概率是最明顯不過的。    
  熱力學適用於不可積系統。這意味著,我們不能用軌道來解決動力學難題,但我們能用概率解決它。因此,如同確定性混沌情形那樣,經典力學的新統計表述導致數學框架的拓展。這在某種程度上不由得讓我們回想起廣義相對論。像愛因斯坦所表明的那樣,為了包含引力,我們必須從歐幾里得幾何轉向黎曼幾何。在泛函分析中,所謂希爾伯特空間扮演著特殊的角色,它將歐幾里得幾何擴展到包含無窮維數「函數空間」的情形。傳統上,量子力學和統計力學都應用了希爾伯特空間。為了得到對不穩定系統和熱力學極限有效的新表述,我們必須從希爾伯特空間轉向更普遍的泛函空間。這一觀點將在第四到第六章中詳加解釋。    
  自本世紀初以來,我們已經習慣於在我們面對微觀客體,如原子和基本粒子時,或者當我們處理天體物理維度時,產生經典力學有待擴展的想法。而不穩定性同樣要求擴展經典力學則很出乎意料。我們現在將轉入的量子力學情形十分類似。共振所致的不穩定性在改變量予理論的表述中同樣扮演著一種基本角色。    
  IV    
  在量子力學中,我們碰到了一個很奇怪的情況。眾所周知,這一理論在它的所有預言方面都取得了引人注目的成功。然而,量子力學的表述完成已有 60多年的歷史,但有關其含義和範圍的討論依然熱烈如初,這在科學史中是很獨特的。儘管它取得了許多成功,很多物理學家仍有一種不安的感覺。費恩曼(Richard    
  Feynman)就一度認為無人真正 「 理解 」 量子理論。    
  這兒,基本量是波函數 Ψ ,它在某種程度上起軌道在經典力學中所起的作用。實際上,量子理論的基本方程(薛定諤方程)描述波函數的時間演化。它將給定初始時刻 t 0 的波函數 Ψ (t 0 )轉換為t時刻的波函數 Ψ ( t),這就如同在經典力學中,軌道從一個相點導出另一個相點。    
  和牛頓方程一樣,薛定愕方程是確定性的,且是時間可逆的。再次如同在經典動力學中一樣,在量子力學的動力學描述和與熵相關聯的演化描述之間存在著一條鴻溝。波函數Ψ的物理解釋是它對應著概率幅。這表明 | Ψ |2= ΨΨ * ( Ψ 既有實部也有虛部, Ψ * 是 Ψ 的復共軛)是概率,我們再次用 ρ 來標記。還存在更普遍的概率形式,它對應於通過各種波函數的疊加而得到的系綜。與從單個波函數得到的純粹倩形相對,它們被稱為混合情形。    
  量子理論的基本假設是:正如經典力學中的每一個動力學問題通常與軌道動力學相聯繫一樣,每一個動力學問題可以在概率幅層次上加以解決。但奇怪的是,為了把明確定義的屬性賦給物質,我們不得不超出概率幅,我們需要概率本身。為了理解這一困難,我們考慮一個簡單的例子。假設能量可以取兩個值 EI和EZ,相應的波函數為u 1 和u 2 。現在考慮線性疊加 Ψ = c 1 u 1 +c 2 u 2 。這樣,波函數在兩個層次上 「 參與 」 ,系統既不在層次 1也不在層次2,而是處於一種居間態。我們現在測量與 Ψ 相關的能量。按照量子力學,我們得到與概率幅的平方 |c 1 | 2 和|c 2 | 2 給出的概率相聯繫的E 1 或E 2 。    
  我們最初從單個波函數Ψ開始,但卻仍然以兩個波函數 u 1 和u 2 的混合物結束。這通常稱為波函數的 「 歸約 」 或 「 坍縮 」 。我們必須從由波函數 Ψ 所描述的潛在性轉向我們可以測量的實在性。在量子理論的傳統語言中,我們是從純粹狀態(波函數)轉向系綜,即混合物。但這如何可能呢?如前所述,薛定諤方程將一個波函數變換為另一個波函數,而不是變換為系綜,這一直被稱為量子佯謬。有人認為,從潛在性向實在性的轉變是我們的測量造成的。這是本章第 1節引述的溫伯格的一段話以及相當多的教科書中所表達的觀點。它是與經典力學中的時間佯謬提供的解釋同樣類型的解釋。亦是在那種情形裡,很難理解人的行為,譬如觀察,怎麼就能造成從潛在性向實在性的轉變。倘若沒有人類的存在,宇宙的演化會不一樣嗎?戴維斯(Pani    
  C.Davies)在《新物理學》一書的導論中寫道:    
  最低限度,量子力學提供了一個非常成功的方法來預言對微觀系統的觀察結果,但當我們問在進行觀察時實際會發生什麼,我們得到一派胡言!打破這一佯謬,所  做的努力既有埃弗裡特( Hugh    
  Everett)的離奇的多世界解釋,也有馮 · 諾伊曼( JOIm    
  von Ne。)和維格納(Eugene Wigner)乞靈於觀察者意識的神秘思想。經過半個世紀的爭論,這一量子觀測爭論仍舊熱烈如初。關於至小和至大的物理學問題是難以克服的,但這一前沿 —— 意識和物質的界面 —— 可能會成為 「 新物理學 」 最富挑戰性的遺產。    
  這個「意識和物質的界面」也處於時間佯謬的核心。如果僅僅由於我們人的意識干預了一個由時間對稱定律支配的世界,時間之矢才存在,那麼知識的獲取就會因為任何測量本身已蘊涵著一個不可逆過程而變得自相矛盾。如果我們想瞭解關於一個時間可逆的客體的任何知識,無論是在儀器水平還是在我們自己的感官機理水平,我們都無法迴避測量的不可逆過程。因此,在經典物理學中,當我們問如何依靠基本的時間可逆定律去理解「觀察」,正如戴維斯所說的那樣,我們得到「一派胡言」,但是在經典物理學中,不可逆性的這種入侵卻被看作是一個次要問題。經典動力學的大成功對其客觀屬性來說是毋庸置疑的,而量子理論中的情況則截然不同。在此,量子理論的結構明確表明,在我們對自然的基本描述中必需包含測量。因此,看來我們擁有一個不可約的二元性:一方面,是時間可逆的薛定諤方程;另一方面則是波函數的坍縮。    
  大物理學家泡利( Wolfgang    
  Pauli)一再強調量子力學的這種二元性。他在1947年給菲爾(Markus    
  Fierz)的一封信中寫道: 「 有一些事情只在作出觀察時才真正發生,並與 …… 熵的必然增加相關。在多次觀察間隙,則什麼也不會發生。 」 然而,不管我們是否觀察它,我們書寫用的紙照樣老化發黃。    
  這一佯謬如何解決?在戴維斯提到的極端立場之外還提出過許多方案,例如玻爾( Niels    
  Bohr)的 「 哥本哈根詮釋 」 。 [注]    
  玻爾主張,必須用經典態度對待測量儀器。正是我們這些屬於宏觀世界的人需要一個中間人與微觀世界聯繫,恰如在一些宗教中我們需要神職人員或薩滿教僧與彼岸世界進行交流一樣。    
  [注]我們極力推薦雷的書《量子物理學》和戴維斯編《新物理學》一書中希莫尼(A.Shimony)的文章 「 量子力學的概念基礎 」 。令人費解。    
  但這並不解決問題,因為哥本哈根詮釋未開出任何我們可以用作測量儀器來刻畫物理系統的藥方。玻爾迴避了基本問題:何種動力學過程造成波函數的坍縮。玻爾最親密的合作者羅森菲爾德清醒地意識到了哥本哈根詮釋的局限。他認為,這一詮釋僅僅是第一步,下一步應給測量儀器的作用一個動力學解釋。他的堅強信念使一些文章與我們自己研究小組一樣參與我們目前的探索之中。    
  另一些物理學家提出,將測量儀器與某種「宏觀」儀器視為等同。在他們看來,宏觀儀器的概念與近似聯繫在一起。出於實際的原因,我們不能測量宏觀儀器的量子屬性。更有甚者,還經常有人提出,我們應該把儀器看作一個與整個世界聯繫在一起的「開放的」量子系統。來自環境的偶然擾動和漲落使我們能夠完成測量。但「環境」指什麼?誰在客體與其環境之間作出區分?這一區分僅僅是馮·諾伊曼方案的一個修訂版,這一方案認為,通過我們的行為和觀察,正是我們產生了波函數的坍縮。    
  貝爾( John    
  Bell)在他的傑作《量子力學中之可言說與不可言說》中強調了消除與觀察者相聯繫的主觀因素的必要性,這也是蓋爾曼和哈特爾(James    
  B.Hartle)最近工作的一個重點。他們認為,訴諸於與宇宙學相關聯的觀察者甚至更是誰在測量宇宙?對這一方法的詳細討論已超出了本書範圍,然而,簡要介紹他們的最新成果是妥當的。    
  蓋爾曼等人給宇宙的量子力學史引入一種粗粒描述,這種描述把量子力學的結構從概率幅理論轉換到概率本身理論。作為實例,我們再次考慮由波函數 u 1 和u 2 疊加得到的波函數 Ψ = c 1 u 1 +c 2 u 2 。為簡便起見,假設 Ψ 是實數,取平方,我們得到 Ψ 2 =c 1 2 u 1 2 +c 2 2 u 2 2 +2c 1 c 2 u 1 u 2 。假設我們可以忽略稱為 「 干涉項 」 的雙積,那麼量子理論的一切奧秘都消失了。概率今是概率的簡單加和。不再有必要談論從潛在性向實在性的轉變了,我們可以直接與概率打交道。但這又如何可能呢?干涉項在量子理論的許多應用中扮演著核心角色。然而,壓制干涉項正是蓋爾曼和他的同事所提議的。為什麼在一些情況下我們需要包括干涉項的精確的細粒量子描述,而在另一些情況下又需要壓制干涉項的粗粒描述?誰真正來進行粗粒化呢?用近似來討論解決基本問題合理嗎?這又如何與我們在第 H節引用過的蓋爾曼自己的說法,量子力學是所有理論都必須適合的框架的說法相一致呢?    
  然而,這個領域另有一些人指望,通過以一種現代形式重新引人伊壁鳩魯傾向來解決這一量子力學難題。事實上,吉拉爾迪( Giancarlo    
  Ghirardi)、裡米尼(Emanuele Rimini)和韋伯(Tullio    
  Weber)提出,在某個時刻,出於某種未知的原因,會出現波函數的自發坍縮。機遇概念在這裡進入討論,但沒有作為解圍之神(dens    
  ex machina)的任何進一步的正當理由。這一新傾向為什麼適用於某些情況而不適用於其他一些情況?    
  所有這些闡明量子理論概念基礎的嘗試特別使人不滿的是,它們沒有作出任何可以實際檢驗的新預言。    
  我們自己的結論與這一領域中的其他許多專家,如美國的希莫尼( Abner    
  Shimony)和法國的德斯帕格納特(Bernardd 』 Espagnat)的結論不謀而合。在他們看來,必須作出一些根本的革新,這些革新將保留量子力學所有的成就,但應消除與量子理論二元結構相關聯的困難。請注意測量難題不是孤立的。正如羅森菲爾德強調的那樣,測量與不可逆性相聯繫。但是在量子力學中,不管它們是否與測量聯繫在一起,都沒有不可逆過程的位置。馮 · 諾伊曼、泡利和菲爾在幾十年前就已確立,(在遍歷理論的框架裡)難以將不可逆性引入量子理論。像在經典力學中那樣,他們力圖通過粗粒化來解決這個難題,但他們的努力不成功。這可能是馮 · 諾伊曼最終採納二元表述的原因:一邊是薛定諤方程,另一邊是波函數坍縮。只要坍縮不用動力學術語來描述,這就無法令人滿意。這就是我們自己理論所取得的成就。不穩定性再次扮演著核心角色。然而,受指數發散軌道影響的確定性混沌在此不適用。在量子力學中,沒有什麼軌道。因此,我們必須通過龐加萊共振來考察不穩定性。    
  我們可以把龐加萊共振結合進統計描述,並用波函數導出在量子力學範圍之外的擴散項。統計描述再次基於概率。(在量子力學中也稱為密度矩陣,參見第六章)的層次上,不再基於波函數之上。通過龐加萊共振,我們不依靠任何非動力學假設,就實現從概率幅向概率本身的轉變。    
  如同在經典動力學中一樣,基本問題是:這些擴散項何時是可觀察量?傳統的量子理論的局限性是什麼?回答與經典動力學中的回答相似(參見第 III節)。簡單說來,正是在持續相互作用中擴散項成為支配項(參見第七章)。像在經典力學中一樣,這個預言已通過數值模擬得到了證實。只有超出還原論描述,我們才能給出一個量子理論的實在論詮釋。波函數並沒有坍縮,因為動力學定律現在在密度矩陣 ρ 的層次上,而不是在波函數 Ψ 的層次上。而且,觀察者不再充當任何特別角色,測量儀器必須提供一個破缺的時間對稱性。對於這些系統,有一個優先的時間方向,正如在我們對自然的感知中有一個優先的時間方向一樣。這個共同的時間之矢正是我們與物理世界交流的必要條件,它亦是我們與我們的後來人交流的基礎。    
  因此,不穩定性不僅在經典力學而且在量干力學中都充當著核心角色,並且嚴格說來,它迫使我們擴展經典力學和量子力學的範圍。這麼做的時候,我們必須離開簡單可積系統的領域。由於這一難題在過去幾十年中爭論得異常熱烈,所以得出一個統一的量子理論的表述的可能性特別激動人心,但是擴展經典理論的必要性更顯得出乎意料。我們認識到,這意味著與回溯到伽利略和牛頓所構想的西方科學基礎的理性傳統決裂。但最新的數學方法用於不穩定系統,與它導致的本書所述的擴展,並不是一種純粹的巧合。它們使我們基於自然的概率描述來包含我們宇宙演化特性的描述。科恩( I.Bernard    
  Cohen)在最近一篇文章裡把概率革命說成是應用革命。他寫道, 「 即使 1800-1930年間不顯示概率領域的一場革命,但它們提供了概率化革命的證據,即隨概率和統計學引入經歷過革命性變革的領域,而帶來驚人結果的一場真正革命的證據。 」 這場 「 概率化革命 」 仍在進行中。    
  V    
  現在我們要結束這一章。我們從伊壁鳩魯和盧克萊修開始,他們所發明的傾向允許新奇性的出現。 2500年後,我們終於可以給這個概念一個精確的物理學含義,它起源於被現代動力系統理論確認的不穩定性之中。如果世界由穩定動力學系統組成,它就會與我們所觀察到的周圍世界迥然不同。它將是一個靜態的、可以預言的世界,但我們不能在此作出預言。在我們的世界裡,我們在所有層次上都發現了漲落、分岔和不穩定性。導致確定性的穩定系統僅僅與理想化、與近似性相對應。奇怪的是,這又為龐加萊所預見到。在討論熱力學定律時,他寫道:    
  這些定律只有一個特性,那就是所有概率都存在一個共同屬性。但在確定性假設方面僅有單一的概率,並且,這些定律不再有任何意義;另一方面,在非確定性假設方面那些定律也會有含義,即使它們在某種絕對意義上才被使用。它們作為一種施加於自由之上的限製出現。但這些話提醒我,我正在反對並正在離開數學和物理學領域。    
  今天,我們不怕「非確定性假設」,它是不穩定性和混沌的現代理論的自然結果。一旦我們有了時間之矢,就會立刻明白自然的兩個主要屬性:自然的統一性和自然的多樣性。統一性,因為宇宙的各個部分都共有時間之矢,你的未來即是我的未來,太陽的未來即是其他任何恆星的未來。多樣性,像我寫作的這間屋子,因為有空氣,即或多或少達到熱平衡的混合氣體,並且處於分子無序狀態之中;還因為有我妻子佈置的美麗的鮮花,它們是遠離平衡態的客體,是歸功於不可逆的非平衡時間過程的高度組織化的客體。任何不考慮時間這種建設性作用的自然法則表述,都不可能令人滿意。         
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第二章  僅僅是一種錯覺?         
I  
  本書所論述的結果成熟得很慢。自從我在第一篇關於非平衡熱力學的論文中指出了不可逆性的建設性作用,至今已經50多年了。據我所知,這也是第一篇討論遠離平衡態自組織的論文。這麼多年後,我時常想:為什麼我對時間難題如此著迷?為什麼經過這麼多年才建立起它和動力學的聯繫?我並不想在這裡討論熱力學和統計力學半個世紀的歷史,我僅想解釋我自己的動機,指出在這條路上我所遇到的一些主要困難。 
  我總是把科學看成是人與自然的對話,如同在現實的對話中那樣,回答往往是意料之外的——有時候是令人驚訝的。 
  青年時期,我沉迷於考古學和哲學,尤其是音樂。我母親過去常說,我在讀書之前就會識譜。進入大學以後,我花在鋼琴上的時間甚至比在教室聽課的時間還多。在所有我喜歡的科目中,無論是文明的逐漸出現,與人的自由相聯繫的道德問題,還是音樂中聲響的時間組織,時間都起了很重要的作用。隨著戰爭威脅的降臨,看來以硬科學為職業比較合適,於是我開始在布魯塞爾自由大學學習物理和化學。 
  我常常就時間的含義問我的老師,但他們的回答相互矛盾。對哲學家而言,這是所有問題中最難的難題,與人類存在的道德和本性密切相關。物理學家覺得我的問題很天真,因為答案早已為牛頓所給出,且後來為愛因斯坦所證明。結果,我感到吃驚和困惑。在科學中,時間被視為一個純粹的幾何參量。在愛因斯坦和閔可夫斯基(Hermaxin Minkowski)之前100多年的1796年,拉格朗日稱動力學為「四維幾何學」。愛因斯坦則說「時間[ 與不可逆性相聯繫]是一種錯覺。」以我的背景而言,我無法接受這些說法。然而,空間化時間的傳統如今仍然十分活躍,像霍金等許多科學家的著作可以作證。霍金在《時間簡史》一書中引入「虛時間」以消除空間和時間的區別。在第八章我們將透徹分析虛時間概念。 
  我當然不是第一個感覺到時間的空間化與我們周圍觀察到的演化的世界,以及與我們人自身的經驗不相容的人,法國哲學家柏格森才應是第一人。對他來說,「時間就是創造,或者什麼都不是」。在第一章,我曾提到他後來的一篇文章「可能與現實」,這是他於1930年在諾貝爾獎頒獎大會上的演講。在那個場合,他表達了他的感受:人類存在由「不斷創生不可預測的新鮮事物」組成;而且他得出了這樣的結論:時間證明,自然界存在不確定性。我們周圍的宇宙只是許多「可能」世界中的一個。柏格森如果讀到第一章未引用的龐加萊的觀點沒準會十分驚奇。奇妙的是,他們的結論指向同一方向。我還引用了懷特海在他的《過程與實在》一書中表達的觀點。對於懷特海而言,終極目標是調和恆常與變易,把存在構想為過程。在他看來,發源於17世紀的經典科學是一個誤置具體性的例子,此種具體性不能把創造性表達為大自然的基本屬性,「真實世界有其通向新鮮事物的時間通道的特性」。懷特海的真實世界概念顯然與任何確定性描述都不相容。 
  我們可以繼續引用海德格爾等人(包括愛丁頓)的話。愛丁頓寫道:「任何在屬於我們自然界的精神和物質兩個方面的經驗範疇之間架設橋樑的努力,時間都佔據著關鍵地位。」但這一橋樑未架設起來,時間從前蘇格拉底時期到當今仍為爭論的熱點。對於經典科學來說,時間難題已經由牛頓和愛因斯坦解決了,但是對於大多數哲學家來說,這個解是不完善的。在他們看來,我們不得不轉向形而上學。 
  我個人的信念則不同,放棄科學似乎是不堪付出的沉重代價。畢竟,科學引起了人類與自然之間獨特和富有成效的對話。也許經典科學的確把時間限制為一個幾何參量,因為它只處理一些簡單問題。例如,我們處理無摩擦擺的時候,沒有必要擴展時間的概念。但是,一旦科學遇到了複雜系統,就不得不修改它對時間的看法。經常浮現在我腦海中的是一個與建築風格有關的例子:公元前5世紀的伊朗磚與19世紀的新哥特式磚並無太大的區別,但結果——波斯波利斯王宮與新哥特式教堂——卻呈鮮明對照。看來,時間是一種「突現」的特性。但時間之源是什麼呢?我堅信,宏觀不可逆性是微觀尺度上的隨機性的表現。但什麼是這種隨機性的起源呢? 
  沉醉於這些問題,我轉而學習熱力學是十分自然的,尤其是布魯塞爾自由大學在這個學科已有一個由德·唐德爾(Thaphile De Donder)(1870-1957)奠基的熱力學學派。 
II  
  在第一章,我們提到了克勞修斯提出的熱力學第二定律的經典表述。這一定律基於一個不等式:孤立系的熵S單調增加,直至在熱力學平衡時達到其最大值。因而,對於熵隨時間的變化,我們有ds□0。如何才能把這一表述延拓到非孤立的、與外界有物質和能量交換的系統呢?我們必須區分有關熵變dS的兩個概念:首先,deS是跨過系統的邊界轉移的熵;其次,diS是系統內產生的熵。因此,我們有dS=deS十diS。現在,我們可以這樣表述熱力學第二定律:無論邊界條件如何,熵產生diS總是正的,即diS□0。不可逆過程生熵。德·唐德爾走得更遠:他用各種不可逆過程的速率(化學反應速率、擴散速率等等)和熱力學力,把每單位時間的熵產生表述為P=diS/dt。事實上,他只考察了化學反應,但這很容易推廣。 
  德·唐德爾在這條道路上並沒有走出很遠。他主要關注平衡及其鄰域。雖然他的工作有其局限性,且在相當長時間裡毫無結果,但仍然是向非平衡熱力學表述邁出的重要一步。我仍然記得德·唐德爾的工作所遇到的敵意。對絕大多數科學家來說,熱力學必須嚴格限制在平衡態。 
  這就是當時最有名望的熱力學家吉布斯和劉易斯(Gillbert N.Lewis)的觀點。在他們看來,與單向性時間相聯繫的不可逆性是無法容忍的。劉易斯甚至寫道:「我們將看到,幾乎在任何地方,物理學家從他的學科中清除了與物理學理想不相容的單向時間。」 
  我親自體驗過這樣的敵意。1946年,我組織了由IUPAP(純粹物理與應用物理國際協會)贊助的第一屆統計力學和熱力學大會。這樣的會議從此一直定期召開並吸引了大批學者,但當時我們僅是大約30-40人一個小團體。我發表了關於不可逆熱力學的報告後,一位當時著名的熱力學專家作了如下評價:「我驚訝這位年輕人對非平衡物理學如此感興趣。不可逆過程是短暫的。為什麼不緩一緩,像別人一樣去研究平衡態呢?」我對這種反應非常驚異,脫口而答:「但我們都是短暫的。對我們人類共同的生存條件感興趣難道不自然嗎?」 
  我終生都遇到這種對於單向性時間概念的敵意。熱力學應當是受限於平衡的學科,這仍是盛行的觀點。在第一章我曾提到,把熱力學第二定律平庸化的努力是很多著名物理學家信條的一部分。我總是對這種態度感到驚奇。在我們周圍,處處可以看到成為「大自然創造性」(懷特海語)證據的結構的出現。我總是感到,這種創造性必須以某種方式與距平衡態的距離聯繫起來,它是不可逆過程的結果。 
  例如,對比一下晶體和城鎮。晶體是一個可以在真空中保持的平衡結構。如果把城鎮孤立起來,它就會消亡。因為它的結構依賴於它的功能,功能和結構是不可分離的。因為結構表達了城鎮與外界的交流。 
  薛定諤在他的優美著作《生命是什麼?》中,用熵產生和熵流討論了生命的新陳代謝。若有機體處於定態,則它的熵隨時間保持不變,故ds=0,結果是熵產生diS和熵流相消,diS+des=0,或者des=-diS<0。於是薛定諤斷言,生命以「負熵流」為食。「然而,更重要的一點是,生命與熵產生相聯繫,從而與不可逆過程相聯繫。 
  可是,在生命系統或者城鎮中的結構是如何在非平衡條件下產生的呢?像在動力學中一樣,穩定性問題在這裡再次起著重要作用。熵在熱力學平衡時最大,這是孤立系的情況。對於溫度維持為T的系統,我們有類似的陳述。於是,人們引人「自由能」F=E-TS,能量E和熵S的線性組合。所有熱力學教科書都表明,自由能F在平衡態處有最小值(參見圖2.1)。因此,擾動或漲落不產生什麼影響,因為它們會回到平衡態。這種情況類似於第一章第III節所討論過的穩定擺。       
  相應於非平衡的定態會發生什麼情況呢?我們在第一章第II節討論熱擴散時看到過一個定態的例子。非平衡定態是真正穩定的嗎?在近平衡情況(所謂「線性」非平衡熱力學)下,回答是肯定的。正如我們在1945年所證明的,定態相應於每單位時間熵產生P=diS/dt最小。在平衡態P=O,即熵產生為零,而在圍繞平衡態的線性域,P為最小值(參見圖2.2)。       
  漲落再一次消失。但是,這裡表現出一個重要的新特性:非平衡系統可以自發地演化到複雜性增加的狀態。我們注意到這種建序是不可逆過程的結果,在平衡態是無法實現的。這一點在第一章討論熱擴散例子時已經很清楚了,溫度梯度使得混合物部分分離。此後,我們也研究了許多其他例子,在這些例子裡,複雜性總是伴隨著不可逆性。這些結果成為我們未來研究的準則。 
  但是,如何把這些在近平衡情況下成立的結論外推到遠離平衡態呢?我的同事格蘭斯多夫(Paul Glansdorff)和我對這一課題進行了多年的研究。「我們得到了一個驚人的結論:與平衡態發生的情況不同,與近平衡態發生的情況也不同,遠離平衡系統不遵守對自由能或熵產生函數有效的最小熵產生原理。結果是,沒有什麼保證漲落被衰減。我們只能就穩定性得到充分條件的表述,我們稱之為「廣義演化判據」,這要求釐定不可逆過程的機制。近平衡的自然法則是普適的,但它們在遠離平衡時成為機制依賴性的。因此,我們開始注意到我們周圍觀察到的自然界中的多樣性的起因。物質在遠離平衡時獲得新的屬性,漲落和不穩定性現在是正常現象。物質變得更為「活躍」。目前,有許多圍繞這一課題的文章,這裡我們僅考慮一個簡單例子。若有一化學反應,其形式為{A}<=>{X}<=>{F},其中{A}是初始生成物,{X}是中間產物,{F}則是最終生成物。在平衡態,我們有細緻平衡,其中存在從{A}到{X},又從{X}到{A}的許多轉變,對{X}和{F}亦然。初始生成物與最終生成物之比{A}/{F}在孤立系的情況下取明確定義的值,它相應於最大熵。現在考慮開系,比如一個化學反應器。通過對物質流的適當控制,我們可以把初始生成物{A}和最終生成物{F}兩者的值固定。我們把{A}/{F}的比值從它的平衡值開始逐漸增加,當我們遠離平衡時,中間產物{X}會發生什麼情況呢? 
  化學反應通常由非線性方程所描述。給定{A}和{F}的值時,中間產物{X}的濃度會有很多解,但只有一個解對應於熱力學平衡和最大熵。這個解可以延伸到非平衡區域,我們把這個解稱為「熱力學分支」。未預料到的結果是,在距平衡態的某個臨界距離,熱力學分支通常會失穩(參見圖2.3)。發生這種情況的點叫做分岔點。       
  在分岔點之外,出現了一系列新現象:有振蕩化學反應,非平衡空間結構和化學波。我們給這些時空組織起了個名字叫耗散結構。熱力學給我們導出了化學中出現耗散結構的兩個條件的表述:(1)遠離平衡情形由臨界距離確定;(2)催化步驟,例如,由化合物X生成中間化合物Y以及由Y生成X。 
  值得注意的是,生命系統也滿足這些條件:核甘酸編碼蛋白質,蛋白質又編碼核甘酸。 
  我們很幸運:在我們預言了這種種可能性之後,BZ反應——化學振蕩的一個特例——的實驗結果成了眾所周知的事實。我們看到反應溶液變成藍色,然後變成紅色,然後又重新變成藍色時的激動情景,我至今記憶猶新。現在,人們已經知道了其他許多振蕩反應。但是,BZ反應仍有其重要的歷史意義,它證明了物質在遠離平衡時有新的屬性。億萬個分子同時變藍,然後又同時變紅。在遠離平衡的條件下這需要出現長程關聯,而在平衡態時則沒有這種關聯。我們再次可以說物質在平衡時是「盲目的」,而在遠離平衡時才開始「看見」。我們已經看到,在近平衡態,與熵產生相聯繫的耗散具有最小值。而在遠離平衡態時正相反,新的過程開始,熵產生增加。 
  遠離平衡態化學已取得了穩步的進展。近年來已經觀測到了非平衡的空間結構,「這些結構最早是圖靈(Alan  Mathison Turing)在形態發生的背景下所預言的。」 
  我們把系統繼續推向非平衡態的時候,混沌性態特有的新的分岔就會產生。像與我們在第一章第III節考察過的動力系統相聯繫的確定性混沌那樣,相鄰的軌道呈指數發散。 
  簡言之,距平衡態的距離就像平衡熱力學中的溫度,它成了描述自然的一個基本參量。降低溫度,我們會看到各種物態的漸次相變。但是在非平衡物理學中,各種性態的多樣性更為顯著。為了這一討論的目的,我們考察了化學,但類似的與非平衡耗散結構相聯繫的過程在其他許多領域已得到研究,包括流體力學、光學和液晶等領域。 
  我們來更仔細地考察漲落的臨界效應。我們看到,近平衡漲落是無關緊要的,但在遠離平衡態,漲落卻起著核心作用。我們不僅需要不可逆性,而且還必須放棄與動力學相聯繫的確定性描述。系統「選擇」一個在遠離平衡態時可得到的分支。但是在宏觀方程中證明對任何一個解都沒有偏愛。這裡引入了一個不可約概率元。最簡單的分岔之一是如圖2.4所示的所謂「叉式分岔」,其中λ=0對應於平衡態。       
  熱力學分支從λ=0到λ=λ c是穩定的。超過了λc 點以後,熱力學分支失穩且有對稱的一對新的穩定解出現。正是漲落決定哪一個分支將被選擇。如果我們抑制漲落,系統就維持在不穩定態。做過的實驗表明,減小漲落,就可以進入不穩定區。但是,內源漲落或者外源漲落遲早會取得主導,把系統帶入其中一個分支b1或b2。 
  分岔是對稱性破缺之源。事實上,超過λc時方程的解通常具有比熱力學分支低的對稱性戶分岔是系統各部分與系統及其環境之間的內稟差別的表現。一旦耗散結構形成,時間的均勻性(例如在振蕩化學反應中),或者空間的均勻性(例如在非平衡圖靈結構中),或兩者,被打破了。 
  我們通常有如圖2.5所示圖解形式的逐次分岔。此種系統的時間描述既包含確定性過程(分岔之間)又包含概率性過程(在分支間的選擇中)。這裡還牽涉到一個歷史維度。如果我們觀測到系統處於態d2,這就意味著它通過了態b1和c1(參見圖2.5)。       
  我們一旦擁有耗散結構,就可以談及自組織了。即使我們已知初值和邊界約束,系統仍有許多作為漲落的結果的態可供「選擇」。這些結論的影響已超出了物理學和化學。分岔確實可以被視為多樣化和創新之源。這些概念目前已應用於生物學、社會學和經濟學等廣泛領域。現在,這些課題在全世界的許多交叉科學中心進行研究。僅在西歐,過去10多年就建立了5O多個非線性過程研究中心。 
  弗洛伊德(Freud)寫道,科學的歷史就是異化的歷史。哥白尼(Copemicus)證明地球並非是行星系的中心;達爾文指出我們人類僅是眾多動物中的一種;弗洛伊德認為我們的理性活動僅僅是無意識的一部分。現在,我們可以把這些觀點倒轉過來。我們看到,人類的創造力和創新性可以被視為在物理學或化學中存在的自然法則的放大。 
III  
  上述結果強烈表明,我們在第一章提到的將熱力學平庸化的企圖必定失敗。時間之矢在結構形成中扮演了基本角色,無論在自然科學還是在生物學中皆如此。但我們只是剛開始我們的探索。我們在化學中的非平衡態下所能產生的最複雜的結構,與我們在生物學中所發現的複雜性之間,仍然存在著一條鴻溝。這不僅僅是個純科學問題。在給歐共體的一份最近報告中,比布裡歇爾(Christof Karl Biebracher),尼科裡斯(Gregoire Nicolis)和舒斯特(Peter Schuster)寫道: 
  自然界中的組織不應也不能通過中央管理得以維持;秩序只有通過自組織才能維持。自組織系統能夠適應普遍的環境,即系統以熱力學響應對環境中的變化作出反應,此種響應使系統變得異常地柔韌且魯棒,以抗衡外部的擾動。我們想指出,自組織系統比傳統人類技術優越,傳統人類技術仔細地迴避複雜性,分層地管理幾乎所有的技術過程。例如,在合成化學裡,不同的反應步驟通常被仔細隔離,用攪拌器來避免反應物的擴散。必須開發全新的技術以實現高級指導,並調節自組織系統對技術過程的潛力。自組織系統的優越性可以用生物系統加以說明,在生物系統中,複雜的產物可以以無與倫比的精度、效能和速度形成! 
  非平衡熱力學的結果接近於柏格森和懷特海表達的觀點。大自然確實與產生無法預測的新鮮事物相關,「可能」的確比「實在」更豐富。我們的宇宙遵循一條包含逐次分岔的路徑,其他的宇宙可能遵循別的路徑。值得慶幸的是,我們遵循的這條路徑產生了生命、文化和藝術。 
  我青年時的夢想,是獻身於解決時間之謎來求得科學與哲學的統一。* 非平衡物理學表明這一夢想完全可能成真。本章描述的結果促使我更進一步在微觀層次上探索時間的概念。我強調了漲落的作用,但什麼是漲落之源?我們如何能夠調和它們的性態與基於自然法則傳統表述的確定性描述呢?倘若我們做到了,就抹煞了近平衡過程與遠離平衡過程之間的差別。更有甚者,我們竟然對像經典力學和量子力學這些人類思維獨特和絕妙的結構提出質疑。 
  我必須承認,這些想法不知造成了多少個不眠之夜。沒有我的同事和學生們的支持,我可能早就半途而廢了。 
  *早在1937年,我在為一本學生雜誌寫的3篇短文裡表達了這一夢想!        
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第三章 從概率到不可逆性        
I  
  我們在第二章已看到,不可逆過程描述了形成非平衡耗散結構的自然之基本特徵。這樣的過程在經典力學和量子力學的時間可逆定律所支配的世界裡是不可能的。耗散結構需要時間之矢。而且,若想用這些定律引入的近似來解釋耗散結構的出現是沒有希望的。 
  我始終堅信,認識耗散結構乃至更一般地認識複雜性的動力學起源,是當代科學最引人入勝的概念難題之一。如第一章所述,對於不穩定系統,我們必須在統計層次上表述動力學定律。這劇烈改變了我們對自然的描述。在這種表述中,物理學基本客體不再是軌道或波函數,而是概率。因此,我們到了18世紀物理學領域之外的「概率革命」的尾聲。然而,面對這種激進結論的含意,為了得到不太極端的解答,我躊躇良久。在《從存在到演化》一書中,我寫道:「在量子力學中,有些觀測量的數值不能夠被同時確定,即坐標和動量。(這是海森伯不確定度關係和玻爾互補原理的精髓。)在此,我們也有一個互補性——動力學描述與熱力學描述之間的互補性。」這可能是解決與不可逆性聯繫在一起的概念難題的一個更不極端的方法。 
  回顧過去,我對我早先著作中的這段敘述感到遺憾。如果存在一個以上的描述,那麼誰來選擇正確的描述呢?時間之矢的存在並沒有帶來方便,它是由觀測強加的一件事實。然而,最近幾年我們對不穩定系統動力學的研究結果,迫使我們在統計層次上重新表述動力學,並斷言這一表述導致經典力學和量子力學的擴展。在本章,我將描述涉及到的某些步驟。 
  近100年來,我們已經知道,甚至簡單的概率性過程也有時間方向。在第一章我們已經提到過「無規行走」,另一個例子是由埃倫費斯特(Paul Ethenfest)和埃倫費斯特(TatianaEhrenfest)提出的「甕模型」(見圖3.1)。       
  假設在甕A和甕B中分佈有N個物體(例如球),以規則的時間間隔(例如每秒)隨機地選取一個球,從一個甕移到另一個甕中。設在時刻n,A裡有k個球,故B裡有N-k個球。則在時刻n+l,A裡有k-l個球或者k+1個球。這些是明確定義的轉移概率。讓我們繼續進行這場遊戲。我們預計,作為球交換的結果,我們將達到每個甕中約有N/2個球的情況。但是,漲落將不斷出現。我們甚至有可能返回到時刻n時甕A中再次有k個球的情況。正是在概率分佈層次上我們看到趨於平衡的不可逆趨向。無論起點如何,可以證明,經n次轉移後在一個甕中找到 k個球的概率pn(k),當n→∞時趨於二項分佈N!/(k!(N-k)!)。這一表達式有k=N/2的最大值,而且考慮了分佈中的漲落。在玻爾茲曼模型中,最大熵恰好對應於這個二項分佈。 
  埃倫費斯特模型是「馬爾可夫過程」(或叫「馬爾可夫鏈」)的一個範例,是以俄國大數學家馬爾可夫(Andrei Markov)的名字命名的,他最先描述了此種過程。一旦我們有了概率描述,就常常能夠導出不可逆性。但我們如何將概率性過程與動力學聯繫起來呢?這仍是根本性的難題。 
  我們已經看到,統計物理學或群體物理學的先驅們已經在這一方向上邁出了基本的一步。麥克斯韋、玻爾茲曼、吉布斯和愛因斯坦都強調過由概率分佈ρ描述的系綜的作用。那麼,一個重要問題是,一旦達到平衡,這一分佈函數的形式是什麼?設q1,…,q2和p1,…,Ps分別為構成該系統的粒子的坐標和動量。在第一章,相空間由坐標和動量來定義。我們還引入了概率分佈ρ(q,p,t)(參見第一章第Ill節)。現在,我們將用單個字母q表示所有坐標,用單個字母p表示所有動量。當ρ變成與時間無關時,達到平衡。所有教科書中都證明,當ρ只依賴於總能量時,才能發生這種情況。第一章第III節提到,總能量是動能(粒子的運動所致)與勢能(粒子間的相互作用所致)之和。當用q和p表達時,總能量叫做哈密頓量H(p,q),它隨時間保持不變。這就是能量守恆原理,即熱力學第一定律。所以,在平衡時,ρ是哈密頓量H的函數是很自然的。 
  一個重要的特例,是所有系統都具有相同能量E的系綜。在整個相空間,除分佈函數為常量的表面H(p,q)=E外,其餘任何地方分佈函數均為零。這叫做「微正則系綜」。吉布斯證明,這樣的系綜確實滿足平衡熱力學定律。他還考察了其他系綜,如所有系統都與處於溫度T的熱庫發生相互作用的「正則系綜」。這導致了分佈函數指數地依賴於哈密頓量,ρ現在正比於exp(-H/kT),其中T是熱庫的溫度,k是玻爾茲曼常量(該常量使得指數成為量綱一的量)。 
  一旦平衡分佈給定,我們就可以計算所有的熱力學平衡性質,諸如,壓強、比熱等。我們甚至可以超出宏觀熱力學,因為我們能夠包括漲落。一般認為,在平衡統計熱力學的廣泛領域裡不存在什麼遺留的概念困難,只存在大部分可以用數值模擬來解決的計算困難。系綜理論應用於平衡情形無疑十分成功。請注意:吉布斯所作的平衡熱力學的動力學詮釋是借助系綜,而不是軌道。為了包含不可逆性,我們必須擴展這一方法。 
  根據經典物理學和量子物理學,在軌道層次(或波函數層次)不存在時間建序,因為未來和過去扮演著相同的角色,這十分自然。然而,在統計描述的層次上用分佈函數會發生什麼情況呢?我們來觀察一杯水。在這個玻璃杯中有數目龐大的分子(1023數量級)。從動力學觀點來看,正如第一章所定義的,這是一個不可積龐加萊系統,因為存在著我們無法消除的分子間相互作用。我們可以把這些相互作用現為分子間的碰撞(在第五章,我們將更精確地定義「碰撞」這一術語),並且用統計系綜 ρ來描述包含大量碰撞的水。水在變老嗎?如果我們只考慮單個的水分子,它們在地質時間尺度是穩定的,水肯定沒有變老。然而從統計描述的觀點來看,在此系統中存在著自然時間秩序。老化是群體的屬性,恰如生物進化的達爾文理論中的情況。它是趨於平衡分佈的統計分佈,如上面定義的正則分佈。要描述這種向平衡的趨近,我們需要關聯概念。       
  考慮依賴於兩個變量x1和x2的概率分佈ρ(x1,x2)。若x1和X2彼此無關,則我們有因式分解ρ(x1,x2)=ρ1(x1)ρ2(x2)。於是,概率ρ(x1,x2)是兩個概率之積。反之,若ρ(x1,x2)不能分解因子,則意味著x1與x2關聯。現在我們回到那杯水中的分子。水分子之間的碰撞有兩個效應,一是使速度分佈更對稱,二是產生關聯(見圖3.2)。但兩個關聯的粒子還會與第三個粒子碰撞,於是二粒子關聯轉換為三粒子關聯,如此等等(參見圖3.3)。       
  我們現在得到一個以時間為序的關聯流。對這一關聯流很有價值和激起爭論的類比就是人的交流。兩個人相遇交談,從而在某種程度上修改他們的看法。這些修改帶給隨後的相遇,又進一步修改觀點。這一現象叫傳播。社會中存在交流流,好比物質中存在關聯流。當然,我們也可以想像逆過程通過破壞關聯使速度分佈不那麼對稱(見圖3.4)。       
  因此,我們需要一個隨著時間的推移使速度分佈更加對稱的過程行將有效的因素。我們將看到,這恰恰是龐加萊共振的作用。我們現在開始瞥見包含不可逆性的統計描述,它將是導出平衡分佈的關聯動力學。 
  圖3.3所示依時間為序的關聯流的存在,已由計算機模擬得到證實。我們也可以再現通過時間反演(其中我們反演粒子的速度)產生如圖3.4所示的過程。但我們只能對短期時間和有限數目的粒子實現這種反演關聯流,此後,我們重新具有包括使系統趨於平衡的數目越來越大的粒子的關聯流。 
  在統計層次上給出不可逆性的意義的這些結果,在將近30年前就已經得到,但目前仍有一些基本問題有待解決。如何在統計描述層次產生不可逆性,而不在我們借助軌道來描述動力學的時候產生不可逆性?這是否是我們的近似所引起的?而且,(例如在計算機實驗裡)我們觀察到的漸次關聯,也許是計算機時間限制所引起的?顯然,通過碰撞制備產生關聯的不關聯粒子,比制備能夠導致其中的關聯被破壞的系綜,所需程序要短。 
  但是,為什麼要從概率分佈入手?概率分佈描述軌道叢或系綜的性態。我們採用系綜到底是因為我們「無知」,還是像第一章討論的那樣隱含有更深刻的原因?對於不穩定系統,系綜與個體軌道相比確實顯示出新的特性。這就是我們現在將用若干簡單例子加以說明的東西。 
II  
  在本小節裡,我們將關注確定性混沌,以及一種特別簡單類型的混沌二者都對應於混沌映射。與在普通動力學中發生的情況相反,映射中的時間僅以離散間隔起作用,比如在第I節中我們討論過的埃倫費斯特甕模型。因此,映射表示動力學的簡化形式,它使我們比較容易把個體描述層次(軌道)與統計描述進行比較。我們將考察兩種映射。第一個例子描繪簡單週期性態;第二個例子描繪確定性混沌。  在第一個例子裡,我們考慮「運動工程」xn+1=xn+ 1/2(mod l)。mod 1的意思是,我們只處理0和1之間的數。經過兩次推移後,我們回到初始點(即x0=1/4,x1=3/4,x2=3/4+2/4=5/4=1/4)。這種情況如圖3.5所示。       
  不考慮由軌道定位的單個的點,而考慮由概率分佈ρ(x)描述的系綜,是很有意義的。軌道對應於系綜的特殊集合,其中,坐標X取明確定義的值Xn,分佈函數ρ則退化成單個點。第一章第III節曾提到,這可以寫為ρn(x)=δ(x-xn)。(δ函數是除了x=xn外其餘所有值皆為零的一種函數的符號。)用分佈函數ρ,映射可以表達成ρn+1(x)與ρn(x)之間的關係。故我們可以寫成ρn+1(x)=Uρn(x)。形式上,ρn+1通過作用於ρn(x)上的算符U而得到。這個算符稱為佩龍一弗羅貝尼烏斯算符。在這一點上,它的顯式對我們並不重要,但值得注意的是,並沒有在U的結構中引人新的元素(運動方程除外)。顯然,系綜描述必須把軌道描述作為一種特例,因而我們有δ( x-xn+1)=Uδ(x-xn)。這只不過是將運動方程重寫的一種方法,因為,推移一次後,Xn就變成了Xn+1。然而,主要問題在於:這是唯一的解,還是作為由不能用軌道表達的佩龍-弗羅貝尼烏斯算符所描述的系綜演化的新解?在我們週期映射的例子中,回答是否定的。對於穩定系統,個體軌道與系綜的性態之間沒有任何差別。對於不穩定動力學系統,正是個體觀點(對應於軌道或波函數)與統計觀點(對應於系綜)之間的這一等價性被打破了。       
  混沌映射最簡單的例子是伯努利映射。這裡,我們把0和1間的數值每一步都乘以2,得到運動方程:xn+1=2xn (mod 1)。這個映射如圖3.6所示。運動方程再次成為確定性的,一旦我們已知xn,則xn+1的數值也就確定了。這裡我們有一個確定性混沌的例子,之所以如此稱呼,是因為如果我們用數值模擬來跟蹤軌道,就會發現軌道是無常的。因為坐標x在每一步都乘以2,兩條軌道之間的距離將為(2n)=exp(nln2),仍然是mod 1。用連續時間t,這可以寫成exp(t λ),其中λ=ln2,λ稱為李雅普諾夫指數。這表明,軌道指數地發散。這種發散就是確定性混沌的標誌。若我們等待足夠長的時間,則軌道最終將趨近0與1之間任意選擇的任何點(參見圖3.7)。這裡,我們有一個導出隨機性的動力學過程。過去,確定性宇宙中的這一表現流被許多大數學家反覆研究過,諸如克羅內克(Leopold Kronecker(1884))和外爾(Hermann Weyl(1916))。按照普拉托(Jan von Plato)的說法,類似的結果早在中世紀就已得到,所以,這肯定不是一個新問題。然而新鮮之處在於,把隨機性與算符理論聯繫起來的伯努利映射的統計表述。       
  我們現在轉向用佩龍-弗羅貝尼烏斯算符的統計描述上來。在圖3.8中,我們看到算符U對分佈函數的影響。軌道描述的差異是顯著的,因為分佈函數ρ(x)很快變為常量。因此,我們斷言,用軌道描述的一方與用系綜描述的另一方之間的基本差異必然存在。總之,軌道層次上的不穩定性導致統計描述層次上的穩定性。       
  這如何可能呢?佩龍-弗羅貝尼烏斯算符仍允許軌道描述δ(x-xn+1)=Uδ(x-xn),但意料之外的特點是,它還允許只適用於統計系綜而不適用於個體軌道的新解。個體觀點與統計描述之間的等價性被打破了。 
  這件令人震驚的事實揭開了數學和理論物理學的新篇章。雖然混沌問題不能在個體軌道層次上加以解決,但它能在系綜層次上得到解決。我們現在可以談論混沌定律。我們將在第四章裡看到,我們甚至可以預言分佈ρ趨向平衡的速率(對於伯努利映射它是常量),並建立這一速率與李雅普諾夫指數之間的關係。 
  我們怎麼理解個體描述與統計描述之間的差異呢?在第四章,我們將更詳細地分析這一情況。我們將看到,這些新解需要分佈函數光滑,這就是為什麼此種新解不適用於個體軌道的原因。用δ(x-xn)表示的軌道不是光滑函數,因為它當且僅當x=xn時不為零,當x≠Xn時為零。 
  因此,用分佈函數的描述比從個體軌道導出的描述更加豐富,這和我們在第一章第III節所得出的結論一致。對於不穩定映射,軌道僅是佩龍-弗羅貝尼烏斯方程的特解。這也適用於具有龐加萊共振的系統(參見第五、第六章)。就概率分佈而言,有時間方向的關聯流是這些新解中的要素,而無時間方向的過程存在於個體軌道層次。 
  我們方法根本性的妙招,是打破個體描述與統計描述之間的等價性。下一章我們將更詳細地討論在統計層次出現於混沌映射中的新解。 
  我們現在發現自己所處的情況令人聯想起我們在熱力學中遇到的情況(見第二章)。平衡熱力學的異常成功,妨礙了其中出現耗散結構和自組織的非平衡情形中物質的新屬性的發現。類似地,經典軌道理論和量子力學的成功,阻礙了動力學向統計層次的擴展,阻礙了把不可逆性結合到對自然的基本描述之中。        
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第四章 混沌定律        
I  
  在第三章,我們闡述了使我們能夠對於不穩定動力學系統擴展經典力學和量子力學的要素:打破個體描述(用軌道)與統計描述(用系綜)之間的等價性。現在,我們想就簡單混沌映射更貼近地分析這種不等價性,並說明這一結果如何與數學的最新進展相關聯。我們先回到伯努利映射。如前所述,這是確定性混沌的一個例子。 
  根據運動方程xn+1=2xn(mod 1),一旦我們已知初始條件x0,則對於任意的n,都能夠計算xn。然而,一個隨機性要素仍然呈現出來。在0和1之間的任意數x可以用二進制數字系統表示:x=u0/2+u-1/4+u-2/8…,其中ui=0或1(我們用負下標u-1、u-2來引入將在第III節中研究的麵包師變換)。於是,每個數xn都用一系列數字來表示。不難證明,當它把數ui向左邊移動時,伯努利映射導出推移un'=un-1(例如,u'-2= u-3)。數列 u-1,u-2,…中的每個數的值與其他數的值無關,所以每一逐次推移的結果像擲硬幣一樣是隨機的。這個系統叫做「伯努利推移」,以紀念18世紀大數學家伯努利(Jakob Bernoulli)在機遇遊戲中的開創性工作。在這裡,我們還可以看到對初始條件的敏感性:僅有微小差別的兩個數(比如說,u-40不同,即差異小於2-39),在40步後競相差1/2。我們已解釋過,這種敏感性對應於一個正李雅普諾夫指數,當x在每一步都加倍時,它的值為ln2(參見第三章第II節)。 
  伯努利映射從一開始就引入只指向一個方向的時間之矢。如果不考慮 xn+1=2xn(mod 1),而考慮映射xn+1=1/2 xn,我們會在x=0處發現一個單點吸引子。時間對稱性在運動方程層次被打破,故運動方程不是可逆的。這和牛頓描述的動力學系統形成對照,因為牛頓運動方程對於時間反演是不變的。 
  在這一關頭要牢記的最重要一點是,軌道不足勝任。軌道不能描述混沌系統的時間演化,即使混沌系統由確定性運動方程所支配。迪昂(Pierre-Maurice Duhem)早在1906年就指出,僅當我們對初始條件作少許改變時,軌道保持幾乎相同,軌道概念才是一種適當的表示方式。用軌道描述混沌系統恰恰缺少這種穩健性。這正是對初始條件敏感性的含義:兩條軌道從我們所能想像的盡可能靠近的兩點出發,隨著時間的推移,它們將按指數發散。 
  相反,在統計層次上描述混沌系統沒有什麼困難。因此,正是在統計層次上我們必須表述混沌定律。在第三章,我們引入了佩龍-菲羅貝尼烏斯算符U,它把概率分佈ρ(x)變換成ρ n+1(x)。我們得出結論:存在著不適用於個體軌道的新解,本章中我們想要確認的正是這些新解。對佩龍-弗羅貝尼烏斯算符的研究是一個發展很快的領域,它在這裡特別有意義,因為混沌映射或許是顯示不可逆過程的最簡單系統。 
  玻爾茲曼將他的思想應用到包含龐大數量分子(10 23 數量級)的氣體,但在這裡正好相反,我們只處理少量自變量(伯努利映射僅有一個自變量,我們將簡要考察的麵包師映射也只有兩個自變量)。我們將不得不再次擯棄此種論點,即不可逆性只是因為我們的測量受限於近似而存在。我們先來確認與統計描述相聯繫的一類新解。 
II  
  我們如何在統計層次上求解動力學問題?首先我們必需確定分佈函數ρ(x),以便能觀察到復現關係 ρ n+1(x)=U ρ(x)。(n+1)次映射後,分佈函數ρ n+1(x)由作用於 ρ n(x)上的算符U所得到,ρn(x)是n次映射後的分佈函數。在經典力學和量子力學中我們將遇到同一類型的問題。至於其原因,我們將在第六章解釋。算符表述首先是在量子理論中引入的,然後擴展到了其他物理學領域,最有名的是統計力學。 
  算符不過是如何作用在給定函數上的一種規定而已,它可以包括乘法、微分及其他任何數學運算。要定義算符,我們必須明確其使用範圍。算符作用於什麼類型的函數上?這些函數是連續的,有界的,還是具有其他性質?這些性質定義了函數空間。 
  一般說來,算符U作用在函數f(x)上會把它變換成不同的函數。(例如,若U是一個導數算符 d/dx,則Ux2=2x。)但是,有些函數當我們用U作用於它們時保持不變,它們只是乘上了一個數。這些特殊的函數稱為算符的本征函數,與本證函數相乘的那個數稱為本征值。在上面的例子中,ekx是一個本征函數,相應的本征值是k。算符分析中的一個基本定理指出,我們可以用算符的本征函數和本征值來表達算符,本征函數和本征值都依賴於函數空間。其中特別重要的是所謂「希爾伯特空間」,它已被從事量子力學研究的理論物理學家仔細研究過。它包括諸如 x或sinx此類的「正經函數」,但不含我們將不可逆性引入到統計描述之中所需的奇異廣義函數。物理學中每一個新理論都需要新的數學工具。這裡,對於不穩定動力學系統來說,基本的創新之處是,我們必須走出希爾伯特空間。 
  在闡述了這些預備知識之後,我們再回到伯努利映射。在這種情況下,我們很容易推導出演化算符U的顯式,從而得到ρn+1(x)=Uρn(x)=1/2[ρn(x/2)+ρn((x+1)/2)。這個方程意味著在(n+1)次迭代之後,點x處的概率ρn+1(x)由點x/2和(x+1)/2處的ρ n(X)值所確定。作為U形式的結果,若ρn是常數且等於α,則ρn+l也等於α,因為Uα=α。一致分佈ρ=α,對應於平衡態。它是通過推移迭代,對於n→∞時得到的分佈函數。 
  相反,若ρn(x)=x,我們求得ρn+1(x)=1/4+x/2。換句話說,Ux=1/4+x/2。算符U的作用是將函數x變換成另一個函數1/2+x/2。但是,我們不難求如上所定義的本征函數,即由算符乘以常量而複製一個相同的函數。在例子U(x-1/2)=1/2(x-1/2)中,本征函數是x-1/2,本征值1/2。若我們重複伯努利映射n次.則得到Un(x-1/2)=(1/2)n(x-1/2),當n→∞時.它趨於0。因此,(x-1/2)對 ρ(x)的貢獻以與李雅普諾夫指數相關的速率被很快衰減。函數x-1/2屬於一簇叫伯努利多項式的多項式,記為bn(x),它們是具有本征值為伯努利多項式的疊加形式時,高次多項式首先消失,因為它們的衰減因子較大。這就是分佈函數很快趨於常量的原因。最後,只有B0(x)=1倖存。 
  現在,我們必需用伯努利多項式來表達分佈函數ρ和佩龍-弗羅貝尼烏斯算符U。然而在我們描述結果之前,我們應當再次強調「正經函數」與「奇異函數」(又稱廣義函數或者廣義分佈,不要把它和概率分佈相混淆)之間的區別,因為這至關重要。最簡單的奇異函數為 δ函數δ(x)。我們在第一章第III節中看到,δ(x-x0)對於x≠x0。的所有值均為零,對於x=x0則為無窮大。我們已經注意到,奇異函數必須與正經函數一道使用。例如,若f(x)是一個正經連續函數,則積分∫dx f(x)δ(x- x0)=f(x0)有明確定義的含義。反之,包含奇異函數之積的積分,諸如∫dx δ(x-x0)δ(x-x0 )=δ(0)=∞發散,故無意義。 
  我們的基本數學難題是,用本征函數和本征值來定義算符U,這稱為算符U的譜表示。一旦我們有了這種譜表示,就可以用它表達Uρ,即佩龍-弗羅貝尼烏斯算符對概率分佈ρ的作用。這裡,我們得到了一個對於確定性混沌來說非常重要的情形。我們已經得到了一個本征函數集合,伯努利多項式(x),它是正經函數,但是仍存在另一個集合~Bn(X),它由與δ函數的導數相關的奇異函數構成。為得到U的譜表示和Uρ,我們需要這兩個本征函數集合。結果,伯努利映射的統計表述只適用於正經概率函數ρ,而不適用於對應於由δ函數所表示的奇異分佈函數的單一軌道。U的譜分解用於δ函數時包含發散且無意義的奇異函數之積。個體描述(用δ函數表示的軌道)與統計描述之間的等價性被打破了。然而,對於連續分佈ρ,我們得到超出軌道理論的一致結果。我們能夠計算趨於平衡的速率,從而得到一個在伯努利映射中發生的不可逆過程的明晰的動力學表述,這個結果證實了我們在第一章第III節中的定性討論。概率分佈考慮了相空間的複雜微結構。用軌道對確定性混沌進行描述對應於過分理想化,不能夠表達這種趨向平衡。 
  這裡,我們遇到了現代數學中的幾個最緊要問題。事實上,我們將在第五章和第六章看到,確定本征函數和本征值是統計力學和量子力學的核心問題。對混沌也一樣,這裡的目的是用算符(例如U)的本征函數和本征值來表達算符。我們成功地做到了的時候,就得到了算符的譜表示。在量子力學中,此種譜表示在通過正經函數的簡單情形裡已經取得,所以我們使用希爾伯特空間。量子力學與希爾伯特空間中的算符分析之間的聯繫是如此緊密,以至於量子力學往往就被當作希爾伯特空間中的算符分析。在第六章,我們將看到這通常不是那麼回事。 
  為了把握現實世界,我們最終必須離開希爾伯特空間。在混沌映射情形裡,我們必須走出希爾伯特空間,因為我們既需要是正經函數的Bn(x)又需要是奇異函數的~Bn(x),於是,我們可以談論受控的希爾伯特空間或蓋爾范德空間。用更專門的術語來講,我們得到了佩龍-弗羅貝尼烏斯算符的不可約譜表示,因為它僅適用於正經概率分佈而不適用於個體軌道。這些特徵是根本性的,由於它們是不穩定動力學系統的典型。我們將在第五章我們對經典動力學的推廣和第六章量子力學中再次見到它們。我們不得不離開希爾伯特空間,其物理原因與上文提及的持續相互作用有關,這種相互作用需要整體的非局域描述。只有在希爾伯特空間之外,個體描述與統計描述之間的等價性才被無可挽回地打破,不可逆性才結合到自然法則之中。 
III  
  伯努利映射不是一個可逆系統。我們前面提到,在運動方程的層次上已經存在時間之矢。我們的主要問題是描述在可逆動力學系統中出現的不可逆性,所以現在我們考察麵包師映射或麵包師變換,它是伯努利映射的推廣。我們取一個邊長為1的正方形。首先,將此正方形技成長為2的矩形,然後再把該矩形平分,建成一個新的正方形。考慮正方形的下部,我們看到,這一過程(或映射)經過一次迭代之後,下部分成了兩條(見圖4.1)。而且,此種變換是可逆的:逆變換首先將正方形重新變形成長為2、寬為2的矩形點後使每一點都回到其初始位置。       
  就伯努利映射而論,運動方程非常簡單:在每一步,當O□x<1/2時,坐標(x,y)變成(2x,y/2),而且當1/2∞,當然,根本不存在粒子數目無窮多的動力學系統(宇宙也不例外)。但這個極限只不過意味著,用1/N或1/V項描述的表面效應可以被忽略。在所有宏觀物理學中,熱力學極限起著核心作用。沒有這一概念,我們甚至不能定義物質的狀態,諸如氣態、液態或固態,不能描述這些物態之間的相變,也不能區分第二章討論過的近平衡和遠離平衡這兩種情況。 
  現在我們來解釋,為什麼退定域分佈函數的引入迫使我們離開那類正經函數,從而離開希爾伯特空間。為了做到這一點,我們必須考慮幾個初等數學概念。首先,每一位數學專業的大學生都熟悉週期函數,如sin(2πx/λ)。當我們給坐標x加上波長λ時,這一函數保持不變,因為sin(2πx/λ)=sin(2π(x+λ)/λ)。其他的週期函數是cos(2πx/λ),或是它們的復組合ei(2πx/λ)=cos(2πx/λ)+isin(2πx/λ)。我們通常用波矢k=2π/λ代替波長λ,並把指數eikz稱為平面波。 
  其次,傅裡葉級數(或傅裡葉積分)的經典理論表明,坐標X的函數,比如f(x),可以表示為對應於波矢(的週期函數的疊加,或更特別地,可以把f(x)表達為平面波eikx的疊加。在這一疊加中,每個平面波乘以幅度φ(k),φ(k)是k的函數。函數φ(k)稱為f(x)的傅裡葉變換。 
  簡言之,我們可以從坐標x的函數f(x)的描述變換成用波矢k的描述φ(k),當然,逆變換同樣可能。注意到f(x)與φ(k)之間存在著一種對偶性亦很重要。若f(x)延拓一個空間間隔Δx(而在間隔外為零),則φ(x)延拓「譜」間隔Δk~1/Δx。當空間間隔Δx增加時,譜間隔Δk減小,反之亦然。 
  在第一章第III節和第三章第II節,我們定義了奇異函數δ(x)。如我們所見,δ(x)僅在X=0處不等於0,從而譜間隔Δx等於0,且當Δk~1/Δx時,譜間隔是無窮大。相反,退定域函數在Δx→∞時導致了以k為自變量的奇異函數,例如δ(k)。所以,退定域分佈函數對於描述持續相互作用是一個要素。在平衡時,分佈函數ρ是哈密頓量H的函數(見第三章第l節)。哈密頓量包含動能,動能是動量p的函數而不是坐標的函數。因此,哈密頓量包含具有奇異傅裡葉變換的一個退定域部分。這樣,奇異函數在我們的動力學描述中扮演著一個重要角色並不令人感到驚異。事實上,正是我們對這些函數的需求迫使我們離開希爾伯特空間。是哈密頓量的函數的平衡分佈,已經處於希爾伯特空間之外了。 
V  
    我們現在借助劉維爾算符(參見第III節)將統計描述與軌道描述進行比較。我們感到很意外,這是由於統計描述引入了完全不同的一些概念,甚至在我們考慮的沿一條直線運動的自由粒子最簡單的情況下已經顯而易見。我們在第II節看到,粒子的坐標q隨時間呈線性變化,而動量p則保持不變。相反,統計描述用與q的博裡葉變換相聯繫的波矢k和動量P來定義。我們研究聲學或光學問題時經常涉及波矢,但是在這裡,波矢出現在動力學問題中了。原因是,對於自由粒子,劉維爾算符L僅是一個導數算符。我們在第四章第I節注意到,本征函數是指數exp(ikx),本征值是pk/m。因為exp(ikx)=cos kx+isinkx,所以本征函數exp(ikx)是週期函數。與定域於單個點上的軌道形成鮮明對照的是,它擴展到整個空間。在統計表述中,就自由粒子而言,運動方程的解可以通過平面波的疊加而得到。當然,在這個簡單例子中,這兩種描述預期是等價的。運用傅裡葉變換理論,我們可以用平面波來重建軌道(參見圖5.2)。因為軌道集中在一點,我們必須延拓整個譜間隔(Δk→∞)來疊加平面波。       
  結果,當q=q0時,平面波的幅度通過相長干涉而增加;而當q=q0時,它們通過相消干涉而消失。在可積系統裡,波矢k不隨時間而變化。通過疊加平面波,我們可以在任一時刻重建軌道。但這裡考慮的重要之點是,軌道不再是一個原始概念,而是一個作為平面波的結構的導出概念。因此可以設想,共振能夠威脅產生軌道的相長干涉。只要軌道還被作為一個原始的、不可約的概念,這便無法加以考慮。已知由相空間中的點表示的軌道,我們可見,軌道坍縮對應於一個點隨時間分解為多個點的情形,恰如我們在第一章分析過的擴散過程。於是也像擴散過程那樣,同樣的初始條件會導致多個軌道。 
  劉維爾算符的本征值如kp/m對應於龐加萊共振中出現的頻率。它們依賴於k和p,而不依賴於坐標。因而,運用波矢k是討論龐加萊共振所起作用的一個合理出發點。運用平面波,我們不僅能描述軌道(它們對應於瞬時相互作用),而且還能夠描述退定域情況。如我們所見,這將導致波矢k中的奇異函數。我們現在用波矢的語言來考察相互作用對統計描述的影響。 
VI  
  假定哈密頓量中的勢能V為二粒子相互作用之和,則它滿足充分確立的下述定理:粒子j和粒子n之間的相互作用修正兩個波矢kj和kn,但它們的和守恆。這裡有守恆律:kj+kn=kj'+kn',其中kj'和kn'是相互作用後的波矢。 
  考慮由自由運動所分開的逐次事件,我們能夠在統計形式內用圖解方法來描述動力學演化。在每個事件處,波矢k和動量p均被修正,但它們在事件之間保持守恆。我們現在更詳細地考察這些事件的特性。 
  在第三章第I節,我們引入了關聯概念,現在我們將以更大的精度定義它。分佈函數p(q,p,t)既依賴於坐標也依賴於動量。若我們把這一函數對坐標求積分,則會失去關於粒子在空間中位置(從而關於關聯)的所有信息。我們得到函數ρ0內(p,t),它僅提供關於動量的信息,所以ρ0稱為關聯真空。另一方面,對除了粒子i和j的坐標qi和qj以外的所有坐標求積分,我們保留關於粒子i和j之間可能的關聯的信息,這樣的函數內稱為二粒子關聯。同理,我們可以定義三粒子關聯等等。在統計描述中,用波矢取代通過其傅裡葉變換依賴於分佈函數的坐標很重要,因為波矢出現於劉維爾算符的譜分解之中。 
  現在,我們將考慮波矢守恆律。其中,每一個事件可以用有兩條入線kj、kn和兩條出線kj'、kn'的點表示,且kj+ kn=kj'+kn'。 
    另外,在每一點處,相互作用粒子的動量p都有所改變,導數算符出現。圖5.3所示為這種最簡單的事件。       
  我們把圖5.3所示的圖叫做傳播事件或傳播圖。它對應於粒子j和n之間二粒子關聯內的修正。但我們也可以從其中kj=kn=0的關聯真空ρ0出發,產生二粒子關聯ρkj,kn,且用kj=kn=0保持波矢之和守恆(參見圖5.4)。於是,我們有所謂關聯產生圖或產生片斷。我們也有如圖5.5所示的消滅片斷,它把二粒子關聯變換成關聯真空。       
  我們現在開始把動力學視為關聯的歷史。例如,圖5.6表示從關聯真空開始的五粒子關聯的出現,與相互作用相關聯的事件產生關聯。       
    現在,我們能夠把龐加萊共振效應引入到動力學的統計描述之中。龐加萊共振與動力學過程耦合,恰似共鳴在音樂裡與諧波耦合。在我們的描述中,龐加萊共振與產生片斷和消滅片斷耦合(參見圖5.7),產生起始於給定關聯態(關聯真空僅僅是一個例子)且最終返回相同關聯態的新動力學過程。在圖5.7里,這些動力學過程描繪為氣泡。關聯態受到保護,而動量分佈改變(記住每一個渦旋引入一個導數算符 )。        
  這些氣泡對應於必須作為一個整體加以考慮的事件,它們引入了非牛頓因素,因為,在軌道理論中不存在類似的此種過程。這些新過程對動力學有顯著的影響,因為它們打破了時間對稱性。實際上,這些過程導致了總是在不可逆過程的唯象理論(包括玻爾茲曼動理學方程)中猜測的那類擴散。為了表示與唯象描述並列的概念,我們把作用於分佈函數上的這些新因素稱為碰撞算符。* 
    *我們在第一章第III節看到,頻率之間的龐加萊共振導致小分母發散。這裡動量為P的粒子的頻率為kp/m,k是波矢(參見第IV節)。對於LPS,k是連續變量,我們能夠避免發散並用δ函數表示共振。這涉及與解析延拓相聯繫的一個數學分支(見本章註釋中的文獻)。對於二體過程,δ函數的輻角是k/m(p1-p2),由此得到每當頻率kp1/m 和kp2/m相等時的貢獻,否則為零。因此,波矢k=0在δ函數的輻角為零中,起著特別重要的作用,記住,當x=0時,δ(x)=∞,當x≠0時,δ(x)=0。零波矢k對應於無窮波長,從而對應於空間中的退定域過程。所以,龐加萊共振不能被包括在軌道描述之中。  
  我們的方案包含通常的動理學理論,但只把它作為一個特例。如麥克斯韋所引入的,這一理論傳統上主要圍繞速度分佈的演化,其中若在初始時刻施加擾動,僅僅幾次碰撞就足以重建平衡。我們的方案與之相反,考慮與越來越多粒子相關聯的越來越高關聯的漸次建立。這一過程需要長的時間尺度,與多年來得到的數值模擬一致。結果,不可逆性導致顯著改變宏觀物理學的長記憶效應。 
    許多超出傳統動理學理論的新成果已經獲得。然而,介紹這些成果超出了本書的範圍。它們將在另一本著作中得到詳細介紹。 
  我們正開始理解不可逆性的真正含義,說這一句話就夠了。我們來考慮衰老過程的簡單類比。在我們的時間尺度上,組成我們身體的原子是不朽的。變化的是原子與分子之間的關係。在這個意義上,衰老是群體的特性,而不是個體的特性。這對無生命世界同樣成立。 
VII  
    我們現在回到我們的原目標,即用分佈函數ρ在統計層次上求解動力學問題。對於確定性混沌情形,這個解就是演化算符的譜表示,它在經典動力學中就是劉維爾算符。我們先考慮與導致奇異函數的持續相互作用相聯繫的退定域分佈函數(參見第III、第IV節)。結果,我們必須離開受限於定域正經函數的希爾伯特空間。然後,如第VI節所見,我們引入導致與擴散相關聯的新動力學過程的龐加萊共振。  
  一旦我們把這兩個特點考慮進去,將會得到不可約的複雜的譜表示。進而言之,複雜意味著時間對稱性被打破;不可約意味著我們不能回到軌道描述。動力學定律現在有了新含義。通過結合不可逆性,它們不表達確定性,而表達慨然性。只有當我們放鬆我們的條件,考慮與有限數目粒子相聯繫的定域分佈函數,我們才能恢復牛頓軌道描述,但擴散過程通常占主導地位。 
  因此,存在著許多情況,其中我們預期偏離牛頓物理學,並且我們的預言已被廣泛的計算機模擬所證實。在第IV節,我們引入了熱力學極限,即當粒子數N→∞,體積V→∞時,濃度N/V保持不變。在熱力學極限下,相互作用不斷繼續,從而只能應用統計描述。大量的數值模擬表明,即使我們從涉及粒子數漸增的軌道開始,則擴散過程接替,軌道「坍縮」,因為隨著時間的推移,它將變換成一個退定域奇異分佈函數。 
  我們的新動理學理論在描述所有時間尺度的耗散過程方面,如實驗室或生態圈裡所觀測到的,具有重大的意義。但這只是它眾多新特徵中的一個。由於龐加萊共振,本節描述的動力學過程產生了長程關聯,即使粒子之間的力是短程的,唯一的例外是平衡態,其關聯範圍由粒子間的力程所確定。這解釋了第二章所述的事實,非平衡產生新的相干性,這一點已被化學振蕩和流體力學中的流體流動所證實。我們現在認識到,平衡物理學給了我們一個錯誤的物質圖像。我們再次看到,物質在平衡態下是「盲目的」,而在非平衡態下才開始「看見」。 
  總之,我們現在能夠超越牛頓力學。經典力學中所用的軌道描述的有效性受到嚴格地限制,熱力學和軌道描述不相容,因為它需要在平衡和離開平衡時的統計方法。對應於我們周圍現象的絕大部分動力學系統都是LPS,這一事實正是熱力學普遍有效的原因。瞬時動力學相互作用,如散射,並不代表我們在自然界(其中相互作用是持續相互作用)所遇到的情況。作為龐加萊共振的結果產生於我們統計描述中的碰撞過程至關重要,它們使時間對稱性破缺,並使演化模式與熱力學描述相一致。 
  與熱力學相聯繫的自然之微觀描述,與科學家們傳統上從牛頓原理得到的舒適的、時間對稱的描述沒有什麼關係。我們所描述的自然,是一個漲落的、嘈雜的、混沌的世界,一個更近似於希臘原子論者所設想的世界。在第一章,我們描述了伊壁鳩魯的二難推理,他所設想的傾向不再屬於物理學之外的哲學夢了。它正是動力學不穩定性的表達。 
  當然,動力學不穩定性只是提供產生自然演化模式的必要條件。一旦我們完成了我們的統計描述,就還能表述觀察複雜性——在宏觀層次上的耗散結構——突現所需的附加因素。我們現在開始認識組織的動力學之源,認識對自組織和生命出現皆至關重要的複雜性的動力學根源。        
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第六章 量子理論的統一表述        
I  
  經典牛頓動力學與量子理論之間存在著根本性差異,但在這兩種情形中,卻都存在用軌道或波函數的個體描述(參見第一章第IV節)和用概率分佈的統計描述。我們看到,龐加萊共振既出現於經典理論也出現於量子理論之中。因此,我們期望我們在經典力學中獲得的結果也將適用於量子理論。實際上,在這兩種情況下,我們都實現了適用於希爾伯特空間之外的LPS掃新的統計表述,這一描述包含時間對稱性破缺,且對於用量子波函數的個體描述是不可約的。 
  儘管量子理論取得了驚人的成功,但關於其概念基礎的討論不但未減弱,而且仍像70年前一樣熱烈。 
  例如,彭羅斯在他的新著《心智之影》裡區分了量子性態中的「Z謎」(對量子疑難而言)和「X謎」(對量子佯謬而言)。而且,非定域性的作用似乎頗令人生疑。已知定域性是與牛頓逐點軌道描述相聯繫的一種屬性,所以包含物質的波方面的量子理論產生一種非定域性形式就不令人驚奇了。 
  似乎需要量子理論的二元表述的波函數的「坍縮」,具有更深刻的意義。一方面,我們有對於波函數的基本薛定諤方程,它和牛頓方程一樣是時間可逆的和確定性的;另一方面,我們有與不可逆性和波函數的坍縮相聯繫的測量過程。這種二元結構正是馮·諾伊曼在他的名著《量子力學數學基礎》中論證的基礎。這種情況確實奇異,因為,除了時間可逆的、確定性的基本薛定諤方程之外,還存在一個與波函數的坍縮(或歸約)相聯繫的第二動力學定律。但是迄今為止,既沒有人能夠描述這兩個量子理論定律之間的聯繫,又沒有人成功地給出波函數歸約的實在論解釋。這就是量子佯謬。 
  導源於量子理論二元結構的量子佯謬,與另一個難題緊密聯繫在一起。我們的結論是,量子理論是不完備的。量子理論像經典軌道理論一樣是時間對稱的,從而不能描述諸如趨近熱力學平衡的不可逆過程。這所以特別奇怪,是因為量子理論肇始於1900年普朗克(Max Planck)成功地描述了黑體輻射與物質的平衡。甚至今天,儘管有愛因斯坦和狄拉克(Paul A.M.Dirac)取得的巨大進展,我們卻仍然沒有精確的量子理論來描述輻射與物質相互作用時對平衡的趨近。(我們將看到,這與量子理論描述可積系統相關。我們將在第IV節回應這一挑戰。)我們既需要平衡物理學也需要非平衡物理學來描述我們周圍的世界。平衡情形的一個例子是源於接近大爆炸時刻的著名的3K剩餘黑體輻射。宏觀物理學的大部分都涉及平衡系統,無論它們是固態、液態還是氣態,所以,在量子理論與熱力學之間存在著像經典理論與熱力學之間一樣深的鴻溝。令人驚奇的是,第五章中擴展經典力學所用的同一種方法也使我們用來統一量子理論和熱力學。事實上,我們的方案消除了量子力學的二元結構,從而消除了量子佯謬。我們獲得了量子理論的實在論詮釋,因為從波函數到系綜的轉變現在可以被認為是龐加萊共振的結果,既不需要「觀察者」的神秘介入,也不需要引入其他不可控制的假設。與第一章提到的其他擴展量子理論的建議相比,我們自己的方案能做出可檢驗的明確預言。更有甚者,這些預言已為所完成的每一項數值模擬所證實。 
  儘管我們的方案構成一種向實在論的回歸,但它肯定不意味著回到決定論。相反,我們甚至離經典物理學的決定論觀點更遠。我們贊同波普爾的觀點:「我自己的觀點是,非決定論與實在論是相容的,承認這一事實促使我們採用整個量子理論一致的客觀的認識論,一種概率的客觀論詮釋。」因此,我們將力圖把波普爾稱為他的形而上學之夢的東西帶人物理學範疇。波普爾寫道:「世界可能就是非決定性的,即使不存在對它進行實驗和干預它的觀測主體。」所以,我們要表明,具有持續相互作用的不穩定動力學系統的量子理論,像經典系統中一樣,產生一種既是統計的又是實在論的描述。在這種新表述中,基本量不再是對應於概率幅的波函數,而是概率本身。像經典物理學中一樣,概率作為一個基本概念從量子力學中產生出來。在這一意義上,我們處在已延續幾百年的「概率革命」勝利的前夕。概率不再是我們的無知所造成的一種心態,而是自然法則的結果。 
II  
  對原子與光之間相互作用產生明確的吸收頻率和發射頻率的觀測,是量子力學表述的出發點。原子被玻爾用離散能級所描述。根據實驗數據(裡茲-裡德伯定則),譜線的頻率是兩個能級之差。一旦已知這些能級,我們就能預言譜線的頻率。於是,光譜學問題可以簡化為能級計算問題。但我們如何使對量子理論歷史有深遠影響的明確能級的存在與對經典理論如此重要的哈密頓量概念相一致呢?經典哈密頓量用坐標q和動量P表達動力學系統的能量,所以取一系列連續值,它不能產生離散能級。正是由於這一原因,在量子理論中,哈密頓量H被哈密頓算符Hop所取代。 
  我們已經反覆使用過算符表述(佩龍-弗羅貝尼烏斯算符在第四章引入,劉維爾算符在第五章引入),但正是在量子理論中,算符分析被首次引入到物理學之中。在第四、第五章所研究的情形裡,我們需要算符未獲得統計描述;在這裡,甚至對應於波函數的個體描述層次也需要算符表述。 
  量子力學中的基本問題是,確定哈密頓算符H(在不混淆時我們將省略下標叫的本征函數Uα和本征值Eα。與能級的觀測值相同的本征值風構成H的譜。當相繼的本征值由有限距離所分開時,稱為離散譜;若能級之間的間隔趨於零,則稱為連續譜。對處於線度為L的一維盒中的自由粒子來說,能級間隔反比於 L2。作為L→∞的結果,這一間隔趨於零,從而我們得到連續譜。按照定義,LPS(大龐加萊系統)中的「大」的確切含義,是這些系統具有連續譜。如同經典理論一樣,哈密頓量在這裡是坐標和動量的函數。然而,由於哈密頓量現在是算符,所以這些量以及所有的動力學變量現在都必須作算符對待。 
  在今天的物理學家看來,發生在量子理論中從函數到算符的轉變似乎十分自然。他們現在使用算符就像我們大多數人使用自然數那麼容易,然而對於像荷蘭科學家洛倫茲(Hendrik Antoon Lorentz)這樣的經典物理學家來說,算符的引入斷難接受,甚至令人反感。無論如何,勇敢地把算符表述引入物理學的海森伯、玻恩、約當(Pascual Jordan)、薛定諤和狄拉克等人值得我們讚賞。在確定一個物理量(由算符表示)與該物理量所取的數值(相應算符的本征值)之間的概念差異中,他們劇烈地改變了我們的自然之描述,這一觀念的根本改變對我們的實在概念有深遠的影響。 
  作為算符表述精緻化的一個例子,我們考慮兩個算符間的對易關係。若兩個算符作用在一個函數上的次序是無關緊要的,則這兩個算符對易。反之,若它們的作用次序改變結果,則這兩個算符不對易。例如,用x乘以函數f(x),然後對x求導數,不會得到與先對f(x)求導數再乘以x相同的結果,這很容易驗證。不對易的算符具有不同的本征函數;反之,對易的算符具有公共本征函數。 
  著名的海森伯不確定性原理就是根據量子理論中所定義的坐標算符與動量算符不對易而得出的。在所有的量子力學教科書中都顯示,在「坐標表象」中對應於坐標的算符qop具有本征值,這些本征值是量子客體的坐標,所以算符qop等同於經典坐標q;而動量算符pop被導數算符 所定義,它是q的導數。所以,qop和pop這兩個算符不對易,它們沒有公共的本征函數。在量子力學中,我們可以使用各種表象。除了坐標表象外,我們還有動量表象,在動量表象中,動量算符就是p,坐標由導數算符表示。無論是什麼表象,這兩個算符都不對易。 
  算符qop和pop不對易這一事實意味著,我們不能確定坐標和動量均有明確值量子客體的狀態。這是海森伯不確定性反應的根源,它迫使我們放棄經典物理學的「樸素實在論」。我們能夠測量某個給定粒子的動量或者坐標,但我們不能說這個粒子的動量和坐標兩者均有確定值。這一結論是海森伯和玻恩等人在60年前得出的。然而,關於不確定度關係含義的討論仍在繼續,甚至有一些科學家迄今仍然沒有放棄恢復經典力學的傳統確定性實在論的希望。這正是愛因斯坦不滿意量子理論的一個原因。我們應當注意,海森伯不確定性原理與自然之確定性時間對稱描述(即薛定諤方程)是相容的。 
  我們說量子系統處於一個特定的「態」的時候,是什麼意思?在經典力學中,態是相空間的點。在量子理論中,態由波函數描述,其時間演化由薛定諤方程所表達。 
  這一方程將波函數Ψ的時間導數等同於作用在Ψ上的哈密頓算符。它不是推導出來的,而是一開始就假定的,故只能由實驗來驗證其有效。它是量子理論中的基本自然法則。[注]注意它在形式上類似於第五章第III節中的劉維爾方程。其基本差別是,劉維爾算符L作用在分佈函數ρ上,而Hop作用在波函數上。 
  [注]薛定諤方程和相對論性秋拉克方程有各種擴展,但是我們這裡的討論不需要它們。  
  我們已經提到,波函數對應於概率幅。引導薛定諤表述他的方程的,是與經典光學的類比。與經典力學的軌道方程形成對照,薛定諤方程是波動方程。薛定諤方程是偏微分方程,因為除了時間導數之外,Hop中還出現對坐標的導數(記住在坐標表象中,動量算符是對坐標求導數)。但經典方程和量子方程有一個共性:它們都對應於確定性的描述。一旦任意時刻t0的Ψ已知,加上適當的邊界條件(例如在無限遠處Ψ→0),我們就可以計算未來或過去任一時刻的Ψ。在這一意義上,我們重建了經典力學的確定論觀點,但它現在適用於波函數,而不適用於軌道。 
  像經典運動方程一樣,薛定諤方程也是時間可逆的。當我們用-t取代t時,該方程仍然成立。我們只需用其復共軛Ψ*取代Ψ。因而,如果我們觀察Ψ從t1時刻的Ψ1到t2時刻的Ψ2的躍遷(其中t2大於t1),我們也能夠觀察由Ψ2*向Ψ1*的躍遷。值得我們回想的是愛丁頓在量子力學早期的評論,他認為量子概率是「通過引入沿相反時間方向傳播的兩個對稱行波系統而獲得的」。事實上,我們看到,薛定諤方程是描述概率幅演化的波動方程。若我們取薛定諤方程的復共軛,也就是用-i取代i,用Ψ*取代Ψ(假設Hop是實數),用-t取代t,則我們回到薛定諤方程。因此,正如愛丁頓所述,Ψ*可視為向過去傳播的波函數。再者,如第一章所述,概率本身通過}與其復共軛Ψ*的乘積(即|Ψ|2)得到。由於Ψ*可理解為在逆向時間上演化的Ψ,所以概率的定義意味著兩個時間(一個來自過去,一個來自未來)的相通。因此,在量子理論中,概率是時間對稱的。 
  我們現在看到,儘管存在著根本性差異,經典力學和量子力學卻都對應於確定性的、時間可逆的自然法則。在這些表述中,過去和未來沒有區別。我們在第一、第二章注意到,這導致需要引入量子理論的二元表述所造成的時間佯謬。哈密頓量在經典理論和量予理論中都起核心作用。在量子理論中,它的本征值確定能級;而根據薛定諤方程,哈密頓量還確定波函數的時間演化。 
  像上一章中的情況一樣,我們將關注哈密頓量H是自由哈密頓量H0與由相互作用所產生的一個項λV之和的系統,即H= H0+λV。於是,此種系統的時間歷史可以描述為這些相互作用引起的H0的本征態之間的躍遷。 
  只要我們仍然處在希爾伯特空間之中,H的本征值Eα就是實數(像劉維爾算符一樣,H也是「厄米的」,厄米算符在希爾伯特空間裡有實本征值)。波函數的演化是exp(-iEαt)這樣的振蕩項的疊加。然而,在量子力學中仍然存在不可逆過程,諸如玻爾理論中的量子躍變,激發原子通過發射光子或不穩定粒子而衰變(見圖6.1),或者通過不穩定粒子衰變而衰變。       
  在傳統量子理論的框架裡,這些過程如何包含在希爾伯特空間內呢?衰變過程出現於大系統中。若激發原子保持在空腔裡,則發射電子將彈回,就不存在什麼不可逆過程。我們看到,波函數的時間演化由振蕩項疊加或振蕩項之和來描述。這個和因大系統的限制而成為一個積分,放需要新的特性。在如圖6.1所描述的激發原於衰變情形中,概率|Ψ|2幾乎隨時間接指數衰變。幾乎一詞在這裡至關重要:只要我們處在希爾伯特空間之中,無論對於很短時間(與電於繞原子核振蕩的頻率同數量級,即~10-16秒),還是對於很長時間(比如說10至100倍激發態的壽命,即~10-9秒),都存在與該指數的偏離。不過,儘管做了大量的實驗研究,卻尚未檢測到對指數性態的偏離。這可真幸運,因為如果它們確實存在,將會給整個粒子物理學理論體系提出一系列嚴峻問題。 
  假定我們制備一束本穩定粒子,讓其衰變;然後又制備第二束不穩定粒子。設想一下這樣的怪異情形:不同時間制備的兩束粒子具有不同的衰變定律,而且我們能夠將它們區分開,猶如我們能夠區別年長者和年幼者一樣!這種怪事違背促使量子理論取得某些巨大成功[注] 的基本粒子的不可分辨性原理。觀測到的精確的指數性態,表明希爾伯特空間描述不當。我們將在下一節回到衰變過程,但這裡我們應當注意,不要把此種過程與驅使系統趨向平衡的過程相混淆。圖6.1 所示的衰變過程只把原子的能量傳遞給光子。 
  [注]這些成功包括超流體的解釋和固態的量子理論。    
III  
  我們看到,量子力學中的主要問題是求解哈密頓量的本征值,這一問題只在少數量子系統中能夠精確解出。為了做到這一點,我們通常需要採用微擾方法。如上所述,我們從形為H=Ho+λV的哈密頓量出發,其中H0相應於我們已經解出了本征值(「自由」哈密頓量)的哈密頓算符,V是通過所謂耦合常數又與H0耦合的微擾。我們假設已知本征值的解H0un(0)=En(0)un(0),且希望求解方程Hun=Enun,故標準步驟(即薛定諤微擾方法)是把本征值和本征函數都展開為耦合常數λ的幕級數形式。 
  微擾方法得到包括各階λ方程的復現方案。這些方程的解意味著使用形如1/(En(0)-Em(0))的項,當分母為零時它變成不定式。這一情形再次對應於共振[注] ,我們又一次遇到位於不可積系統的龐加萊定義之核心的發散問題。 
 [注]在量子力學中,每個能量E相應於由 E=(h/2π)ω所表達的頻率ω。  
  然而,這裡存在著根本差別。我們已經介紹了離散譜與連續譜之間的區別。在量子力學中,這一區別變得很關鍵。事實上,當譜是離散譜時,通過適當選擇不受微擾的哈密頓量[注],通常能夠避免發散難題。由於一切有限量子系統都具有離散譜,因而我們可以推斷它們是可積的。 
   [注]用更專門的術語來說,我們首先通過適當變換提高簡並度。  
  我們轉向包含激發原子、散射系統等大的量子系統時,情形就大為改觀了。在這種情況下,譜是連續譜,我們又回到了LPS。第五章第V節提到的粒子與場耦合的例子也適用於量子系統。每當與粒子相關聯的頻率ω1和與場相關聯的頻率ωk相等時,就產生了共振。唯一的差別在於,頻率在量子系統中與能量相聯繫。本征值Eα相應於頻率(h/2π)ωα,其中h是普朗克常量。 
  圖6.1相應於LPS的例子說明,每當兩能級之間的能量差等於被發射光子的能量時,就會產生共振。 
  像第四章處理確定性混沌的情形那樣,我們可以把本征值問題擴展到希爾伯特空間之外的奇異函數。薛定諤方程的形式解是Ψ(t)=U(t)Ψ(O),其中 U(t)=e-iHt;U(t)是把時刻t的波函數值與初始時刻t=0的波函數值相聯繫的演化算符。無論t1和t2的符號如何,都有U(t1)U(t2)=U(t1+t2),故未來和過去扮演著相同的角色。這一特性定義所謂動力學群。在希爾伯特空間之外,動力學群分裂為兩個半群,從而存在相應於激發原子的兩個函數:第一個函數中φ1在未來呈指數衰減(φ1~e-t/τ);第二個函數~φ1,在過去呈指數衰減(~φ1~et/τ)。這兩個半群中只有一個能在自然界實現。在這兩種情形裡,都存在精確的指數衰減(與上一節描述的近似指數衰減呈對照)。這是伯姆(Arno Bohm)和蘇達尚(George Sudarshan)研究得到的第一個此種例子,他們表明,為獲得精確的指數律,避免在第II節提到的困難,希爾伯特空間必須被放棄。然而,在他們的方案中,核心量仍然是概率幅,量子力學的基本佯謬(波函數坍縮)仍未解決。如上所述,激發原子或不穩定粒子的衰變僅相應於能量從一個系統(激發原子)向另一系統(光子)傳遞。趨向平衡要求對量子理論進行基本修正。像在經典力學中那樣,我們不得不從與波函數相聯繫的個體描述走向與系綜相聯繫的統計描述。 
IV  
  與經典力學相比,在從個體描述向統計描述的轉變中,量子理論引入某些特殊特徵。我們在第五章已看到,統計分佈函數是坐標和動量的函數。軌道對應於δ函數(參見第一章第III節)。在量子力學中,與波函數相聯繫的量子態由自變量的連續函數來描述。我們不是取坐標作為自變量而考慮Ψ(q),就是取動量作為自變量而考慮Ψ(p)。海森伯不確定性原理不允許我們同時取二者。所以,量子態的定義僅涉及經典態定義中所用變量的一半。 
  量子態Ψ代表概率幅,相應的概率ρ由兩個概率幅Ψ(q)和Ψ*(q')之積給出,故p是兩組變量q和q'或者p和p'的函數,我們可以寫作p(q,q')或者p(p,p')。第一式對應於坐標表象,第二式對應於動量表象,它們對我們特別有用。在量子力學中,概率ρ常常被稱為「密度矩陣」(像在代數中學過的那樣,矩陣也有兩個指標)。已知Ψ的方程(薛定諤方程),我們不難寫出ρ的演化方程。ρ的演化方程是量子劉維爾方程,其顯式為 ,它是ρ與H的對易式。這表明,當ρ是H的函數時,我們有平衡情形。於是 ,因為H與它自身的函數對易。 
  我們已考慮了相應於單個波函數的分佈函數ρ。我們還可考慮ρ相應於各種波函數「混合」的情形。劉維爾方程在這兩種情形裡保持不變。 
  對於可積系統,統計表述並沒有引入新的特徵。假設我們已知本征函數φα(p)和H的本征值Eα,則L的本征函數是積φα(p)φβ(p'),本征值是差Eα-Eβ。推導H和L的譜表象問題是等價的。 
  L的本征值 Eα-Eβ直接相應於光譜學中測得的頻率,分佈函數ρ的時間演化是振蕩項的疊加,這裡再一次沒有趨向平衡的方案。而且,對於我們可以就哈密頓量推導本征值的那些情形,L的本征函數,如φα(p)φα(p),對應於劉維爾算符的零本征值Eα-Eα=0,故為運動不變量。所以系統是可積的(如同非相互作用粒子的系統),且不能達到平衡。這是量子佯謬的一種形式。 
  我們現在清楚地看到,將波函數擴展到希爾伯特空間之外是不夠的。如第III節所指出的,這會得到一個形如 Eα=ω-iγα的復能量,其中ωα是實部,γα是描述激發原子或不穩定粒子衰變的壽命,但這仍然不能解釋與趨向平衡相聯繫的不可逆過程。儘管Eα呈複數形式,但ρ的所有對角元都是積φα(p)φα(p'),故它們都是不變量,因為本征值Eα-Eα再次為零,系統仍為可積的且不能趨向平衡*。 
  *用Eα-Eβ*(Eβ*是Eβ的復並軛)代替Eα- Eβ時會出現困難,這裡Eα-Eα*=-iγα≠0,不存在平衡態。  
  玻爾原子理論及隨後出現的量子理論的實驗基礎,建立於裡茲-裡德伯定則之上,按照這一定則,光譜學中測得的每個頻率v是代表兩個量子能級的Eα和Eβ這兩數之差。然而,對於產生使系統趨向平衡的不可逆過程的系統,這不再成立。因此,量子理論必須得到根本性的修正。 
  從歷史上看,力學的根基位於兩個物理學分支:使普朗克於1900年引入他的著名常量的物質與輻射之間的熱平衡,以及使裡茲-裡德伯定則到玻爾原子,最後由海森伯(1926)到量子理論的光譜學。然而,這兩個領域之間的關係從未被闡明。我們看到,裡茲-裡德伯定則與普朗克的工作所描述的趨向熱平衡不相容。因此,我們需要一個使熱物理學與光譜學相容的新表述。這可以在概率分佈層次上實現,由此我們能導出可觀測的頻率(包括其複數部分),但這些頻率不再是我們預期趨向平衡的系統的能級之差。我們必須在更一般的函數空間求解LPS的量子劉維爾本征值問題。像在經典力學一樣,這將包含兩個基本成分:導致奇點的退定域分佈函數,和導致新動力學過程的龐加萊共振。像在經典動力學一樣,在統計層次上出現的新解不能約化為量子力學傳統的波函數表述,且不再滿足裡茲-裡德伯定則。在這一意義上,我們可以真正談論量子理論的新表述。 
V  
  作某種修正後,我們可以仿照第五章對經典系統給出的概率表述。劉維爾方程的形式解為 ,其中Lρ在量子理論裡是哈密頓量與ρ的對易式(Lρ=Hρ-ρH),它可以寫為ρ(t)=e-iHtρ(0)e+iHt,或者ρ(t)=e-iHtρ(0)。這些方程有什麼區別?在第一個表述中,我們有兩個獨立的動態演化:一個與e-iHt有關聯,另一個與 e+iHt有關聯;一個向「未來」演化,另一個向「過去」演化(當t被一t所代替時)。如果是這樣的話,我們預期沒有時間對稱性破缺,統計描述能保持薛定諤方程的時間對稱性。當我們包含與兩個時間演化(e-iHt和e+iHt)耦合的龐加萊共振時,情況就不再是這樣。現在只存在唯—一個獨立的時間演化(時間有「一維」)。為了研究時間對稱性破缺,我們必須從式ρ(t)= e-itLρ(O)出發,此式描述劉維爾空間中的單一時間序列。換句話說,我們必須按照單一時間序列來安排動力學事件。[注]於是,與在經典力學中相同,我們可以把相互作用描述為被自由運動所分開的相繼事件。在經典力學中,這些事件改變了波矢k和動量p的值。我們在第五章介紹了導致關聯產生和關聯消滅的各種事件,看到對於LPS而言,決定性的因素是新事件(圖5.7中的氣泡)出現,這些新事件與關聯產生和關聯消滅耦合。由於它們引入了擴散,打破了確定論,破壞了時間對稱性,所以從根本上改變了經典動力學。我們也可以在量子力學中確認相同的事件。為此,我們需要在量子力學中引入變量,其作用如同波矢k在經典理論的傅裡葉表示中所起的作用。在經典力學中,我們從統計表述出發,其中分佈函數 ρ(q,p)表達為坐標q和動量p的函數。然後,我們進行包含波矢k和動量的傅裡葉變換ρk(P)。 
  [注]如果不這麼做,我們就必須十分謹慎。費恩曼著名的表述,即電子向未來傳播,正電子向過去傳播,它指的是按照單一時間序列安排動力學事件之前出現於薛定諤方程中的時間。 
  在量子力學中,我們可以遵循類似的步驟。我們從動量表象中的密度矩陣ρ(p,p')出發,密度矩陣是兩組變量P和P'的函數。於是,我們引入新變量k= p-p'和P=(p+ p')/2。現在,像在經典力學中一樣,我們可以寫出ρk(P)。可見,k在量子力學中所起的作用與波矢在經典力學所起的作用相同。(例如,在相互作用中波矢之和守恆,即,kj+kn=k'j+k'n。)再次像在經典力學中一樣,龐加萊共振引入了與關聯產生和關聯消滅相耦合的新動力學事件,從而描述量子擴散過程。 
  對於LPS,經典理論表述和量子理論表述大體上是平行的,僅僅在動量P的作用上呈現微小的差異。如第五章所述,對於每一事件,相互作用粒子的動量都改變。在量子力學中,我們使用兩個變量k和P;其中變量P取代經典動量。這些變量相互作用時,P的修正與普朗克常量h有關。然而當h->0時,我們回到經典動量p。但這一差異並不對形式發展帶來重要影響,我們在此不作詳細討論。 
  在上一章,我們介紹了瞬時相互作用與持續相互作用之間的根本性差別。持續相互作用所以特別重要,原因在於,它們出現於可以應用熱力學的所有情形中。像在經典力學中一樣,相應於持續相互作用的分佈函數ρ用變量k的奇異函數來描述。在經典動力學以及經典力學和量子力學中,持續散射是由統計力學和宇宙學所描述的典型情形。例如,在大氣中,粒子不斷碰撞,被散射後又再次碰撞。持續散射由退定域分佈函數加以描述,退定域分佈函數是波矢空間中的奇異函數。如我們在第五章所見,後者迫使我們走出希爾伯特空間。 
  通過考察退定域奇異分佈函數和龐加萊共振,像在經典力學中一樣,我們得到劉維爾算符L的複數的、不可約譜表示。像在經典動力學中一樣,不可逆性與愈益高階關聯出現相聯繫。如在經典力學中那樣,這導致動理學理論和宏觀物理學中的新特徵。我們的量子力學表述的基本結論如下: 
  1.劉維爾算符的本征值不再是從薛定諤方程得到的哈密頓量的本征值之差。所以,裡茲-裡德伯定則被違背,系統不再是可積的,趨向平衡是可能的。 
  2.與薛定諤方程的線性相聯繫的量子疊加原理被違背。 
  3.劉維爾算符的本征函數不用概率幅或波函數而用概率本身來表達。 
  我們的預言已在簡單情形中得到了證實,我們在此種情形中可以在希爾伯特空間之外追隨波函數的坍縮。而且,它們產生了譜線形式的有意義的預言,使我們能夠精確地描述趨向平衡。我們對不能詳述其專門的應用感到遺憾,但我們在本書中的目的僅僅是提供其理論背景的一個概覽。 
VI  
  1927年,在布魯塞爾舉行的第五屆索爾維物理學會議上,愛因斯坦和玻爾之間有一場歷史性的論戰。用玻爾的話來說: 
  為了引起討論,我應邀在會議上就量子物理擺在我們面前的認識論問題作一個報告,借此機會討論合適術語的問題,並闡述互補性觀點。主要爭論在於,物理學證據的無歧義交流,要求採用被經典物理詞彙所適當加工過的通用語言來表達實驗安排和觀察記錄。 
  但是,在量子定律所支配的世界裡,我們怎樣用經典術語描述儀器呢?這是所謂哥本哈根詮釋的弱點,但其中包含重要的真理因素。測量是一種交流手段。用玻爾的話來說,正是由於我們「既是演員又是觀眾」,因而可以瞭解關於自然的某些東西。但交流要求一個共同的時間,這一共同時間的存在是我們研究中的一個基本結論。 
  完成測量的儀器,無論它是物理裝置還是我們自己的感官知覺,都必須滿足包括時間對稱性破缺在內的受擴展的動力學定律。可積的時間可逆系統確實存在,但我們無法孤立地觀測它們。正像玻爾所強調的,我們需要打破時間對稱性的儀器。LPS使這一分別變得模糊,因為它們打破了時間對稱性,從而在一定意義上測量其自身。我們不必用經典術語描述儀器。就與熱力學系統相聯繫的LPS而言,共同時間在量子層次上出現。 
  愛因斯坦深感煩惱的是量子理論的主觀方面,它把悖理的作用歸咎於觀察者。在我們的思路看來,觀察者通過他的測量不再在自然的演化中起某種過度的作用——至少不再像在經典物理學中那樣。我們都將從外界接收到的信息轉變為人這一尺度上的行動,但我們正在遠離量子物理學所猜測的造物主,這個造物主被認為對自然從潛在性向實在性轉變負責。 
  從這一意義上說,我們的方法恢復了理智。它消除了隱含在量子理論傳統表述中的擬人特徵。或許這會使量子理論讓愛因斯坦更可接受。        
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第七章  我們與自然的對話         
I  
  科學是人與自然的一種對話,這種對話的結果不可預知。在20世紀初,誰能想像到不穩定粒子、膨脹宇宙、自組織和耗散結構?但是,是什麼使得這種對話成為可能?時間可逆的世界也會是一個不可知的世界。認識假定世界影響我們和我們的儀器,不僅假定存在著認識者與已知知識之間的相互作用,而且假定這種相互作用會造成過去與未來之間的區別。演化是科學必不可少的條件,事實上它就是知識本身。 
  認識自然始終是西方思想的基本目標之一,然而,不應把認識自然與控制自然等同起來。自以為瞭解他的奴隸,因為奴隸們服從他的命令,這樣的奴隸主是盲目的。當我們轉向物理學,我們的期望顯然大不相同。但在這裡,納博科夫(Vladimir Nabokov)的信念仍然正確:「凡是能被控制的決不會完全真實;凡是真實的決不會完全被控制。」科學的經典理念,一個沒有時間、記憶和歷史的世界,使人想起赫胥黎(AIdons Huxley)、昆德拉(Milan Kundera)和奧威爾(Georp Orwell)所描繪的極權主義夢魔。 
  斯唐熱和我在我們的新著《在時間與永恆之間》中寫道: 
  也許我們必需從強調動力學可逆性那幾乎不可思議的屬性出發。時間問題——時間流的維持、產生和消滅——一直處於人之焦慮的核心。許多推測對新奇思想 提出了疑問,確認了因果之間無情的聯繫。多種多樣的神秘學說否定了這個變動不居的不確定世界的實在性,界定了逃離生命苦難的理想的存在。我們知道,在古代,時間的輪迴思想有多麼重要。但是,如同季節的循環或者人類的世代更替一樣,這一向源點永恆的復歸本身就被時間之矢打上了烙印。從來沒有什麼推測或者學說確認為與無為之間的等價性:在發芽、開花到死亡的植物與死而復生、變得年輕以至復歸為種子的植物之間;或者在長大和求知的人與返老還童,變為胚胎,最後變為細胞之間。 
  在第一章,我們提到過伊壁鳩魯的二難推理以及古人的原子論探討。今天,情況在如下意義上已經大為改觀:我們對我們的宇宙瞭解得愈多,就愈難相信決定論。我們生活在一個演化的宇宙之中。這個演化宇宙的根源隱含在物理學的基本定律之中。我們現在能夠通過與確定性混沌和不可積性相聯繫的不穩定性概念來追溯其根源。機遇或概率不再是承認無知的一種方便途徑,而是一種被擴展的新理性之組成部分。我們已經看到,對於這些系統,個體描述(軌道和波函數)與統計描述(用系綜進行)之間的等價性被打破了。在統計層次上,我們可以結合不穩定性。不再涉及確定性而涉及概然性的自然法則,否決了存在與演化之間歷史悠久的二分法。自然法則描述的是一個不規則的、混沌運動的世界,一個更像古代原子論者的圖景,而不似規則的牛頓軌道的世界。這種無序構成宏觀系統的基礎,我們將與第二定律(熵增加定律)相聯繫的演化描述應用於這些系統。 
  我們考察了確定性混沌,討論了龐加萊共振在經典力學和量子力學中的作用。我們看到,要獲得我們超越經典力學和量子力學通常表述的統計表述,需要兩個條件:第一是龐加萊共振的存在,它導致可以結合到統計描述中去的新的擴散型過程;第二是由退定域分佈函數所描述的受擴展的持續相互作用。這些條件產生一個更普遍的混沌定義。在確定性混沌的情況下,我們獲得不能由軌道或波函數表達的統計方程的新解。要是這些條件不能得到滿足,我們就回到通常的表述。這是許多簡單例子的情況,諸如二體運動(例如太陽和地球)和典型的散射實驗,在這些實驗中粒子在散射前後是自由的。然而這些例子都對應於理想化。太陽和地球是多體行星系統的組成部分;被散射的粒子終將重新遇到其他粒子,所以它們從來就不自由。 
  只有通過隔離一定數目的粒子並研究它們的動力學,我們才能得到通常的表述。相反,時間對稱性破缺是一種全局屬性,這一屬性把哈密頓動力學系統包容為一個整體。在第三、第四章討論的混沌映射中,不可逆性甚至在只有幾個自由度的系統中也會出現,其起因是過去常用來描述系統的運動方程的簡化。 
  我們的方案的一個顯著特徵是,它適用於經典系統又適用於量子系統。我們所知道的其他所有理論方案都試圖通過專門的量於機理來消除量子佯謬,而在我們看來,量子佯謬只是時間佯謬的一個方面。在哥本哈根詮釋中,引入兩種不同類型的時間演化的需要由測量過程所造成。按照玻爾本人的說法:「每個原子現象在這樣的意義上都是封閉的:對它的觀測是基於由適當的放大儀器獲得的記錄,而這類儀器具有不可逆的功能,例如照相底片上的永久性痕跡。」正是這一測量難題導致需要波函數坍縮,迫使我們把第二類動力學演化引入量子力學。因此,時間佯謬和量子佯謬如此聯繫緊密並不令人驚奇。在解決前者的過程中,我們也解決了後者。我們在LPS中看到,量子動力學只能在統計層次上進行描述。而且,要瞭解關於量子過程的事情,我們又需要起儀器作用的LPS。因此,包含不可逆性的量子時間演化第二定律變為普遍的規律。 
  正如雷(Alastair Rae)所述:「純粹的量子過程(由薛定愕方程描述)只能在一個或多個參量與宇宙其餘部分相分離,甚至與時空本身相分離的情況下發生,除非發生測量相互作用,否則其性態不會在宇宙其餘部分留下任何痕跡。」不管是什麼過程,不可逆性都會在某個時刻進入這個圖景。對於經典力學可以作出幾乎相同的表述! 
  常常聽到,為了在這些難題方面取得進展,我們需要一個真正瘋狂思想的靈感。海森伯喜歡問抽像派畫家與優秀的理論物理學家之間的區別是什麼。在他看來,抽像派畫家必需創新,優秀理論物理學家必需保守。我們力求遵從海森伯的忠告。我們在本書中的思路與過去為解答時間佯謬或量子佯謬所提出的其他大多數方案相比肯定不夠激進。我們最為瘋狂的思想也許是,軌道不是首要的對象,而是平面波疊加的結果。龐加萊共振破壞了這種疊加的相干性,產生了一種不可約的統計描述。一旦理解了這一點,量子機制的推廣就變得容易了。 
II  
  有許多文獻涉及熱力學極限,即由極限N(粒子數)→∞,體積V->∞,而濃度 N/ V為有限值所定義的情況。這一極限只不過意味著粒子數N足夠大時,l/N之類的項可以被忽略。這對於其中的N典型地為1023數量級的通常的熱力學系統是成立的。然而,不存在包含無窮數目粒子的系統。 
  宇宙本身就是高度異質性的,且遠離平衡。這種情況阻止系統達到平衡態。例如,太陽內部不可逆的核反應產生的能流使我們的生態系統遠離平衡,從而使生命在地球上的孕育成為可能。我們在第二章看到,非平衡產生新的集體效應,一種新的相干。有趣的是,這恰好是第五、第六章介紹的動力學理論的結果。 
  非平衡產生兩種效應。如在貝納爾不穩定性下,我們在液體下面加熱,產生分子的集合流。若我們停止加熱過程,則集合流瓦解而回到通常的熱運動。在化學中情況就不一樣了,不可逆性導致在近平衡條件下不會發生的分子形成。在這個意義上,不可逆性銘刻在物質之中。這很可能就是自我複製生物分子的起源。我們將不在這裡探討這個問題,不過我們注意到,相當複雜的分子在非平衡條件下(至少通過計算機模擬)確實能夠產生。』在討論宇宙學的下一章裡,我們將論證物質本身是不可逆過程的結果。 
  在非相對論性物理學中,無論是經典物理學還是量子物理學,時間都是普適的,但是與不可逆過程相聯繫的時間流則不然。我們現在要轉到這一區別的驚人意義上來。 
III  
  我們先考慮一個化學模型。假設時刻t0從兩種氣體(如CO和O2)的兩份等量混合物開始。這一可以產生 CO2的化學反應由金屬表面加以催化。我們在其中一份中加入此種催化劑,在另一份中則不加入。若我們在後來的時刻t比較這兩份混合氣體,則它們的組成將完全不同,有催化劑的那份混合氣體由化學反應所產生的熵將大得多。如果我們把熵產生與時間流聯繫起來,那麼時間本身將因這兩種樣品而異,這一觀察與我們的動力學描述相吻合。時間流源於依賴於哈密頓量(即依賴於動力學)的龐加萊共振。催化劑的引入改變了動力學,從而改變了微觀描述。在另一個例子裡,引力再次改變了哈密頓量,因而改變了共振。於是我們有相對論的雙生子佯謬(我們將在第八章回到它上來)的一種非相對論性類似物。這裡,假設我們把一對雙生於(即兩個LPS)送入太空,在句時刻從地球出發,t1時刻返回地球(參見圖7.1)。他們在返回之前,一個雙生子通過引力場,另一個雙生子不通過引力場,則作為龐加萊共振的結果所產生的熵將不同,我們的雙生子將以不同的「年齡」返回地球。這使我們得出如下基本結論:按照所考察的過程,甚至在牛頓宇宙,時間流也有不同的效果。我們的結論與基於普適的時間流的牛頓觀點截然相反。但時間流在過去和未來起相同作用的自然描述中意味著什麼?正是不可逆性產生時間流。時間演化不再由過去和未來在其中起相同作用的群來描述,而由包含時間方向的半群來描述。我們引入與熵產生相關聯的時間的時候(見第二章),熵產生的符號是正的,故熵變時間總是指向同一個方向。這是上述兩個例子中的情形,即使熵變時間與時鐘時間不同步。       
    我們可以對整個宇宙引入一個「平均」熵變時間,但由於自然界的異質性,這樣做沒有很大意義。不可逆的地質過程與生物過程相比有不同的時間尺度。更重要的是,存在著進化的多樣性,它們在生物學領域中特別顯著。如古爾德(Stephen J.Goudd)所述,細菌自前寒武紀以來大致保持相同,而其他物種在短時間尺度裡卻顯著地進化。因此,考慮簡單的一維進化可能是一個錯誤。大約2億年前,某些爬行動物開始飛行,而另一些爬行動物則留在地面上。在後來的一個階段,某些哺乳動物回歸海洋,而另一些哺乳動物留在陸地上。同理,某些猿進化為人,而另一些猿則不然。  
  在本章的結語部分,引用古爾德對生命的歷史屬性所下的定義是適宜的: 
    為了理解生命進程中的偶然事件和一般性,我們必須超越進化論原則,即超越地球生命史中偶然模式的古生物學考察——在成千上萬未偶然發生的似有道理的可能性中實現了的那一種。這樣的生命史觀,與西方科學的傳統確定性模型,和以人類歷史的頂峰作為生命最高表達及有目的行星管理的西方文化的深遠社會傳統和心理期望背道而馳。 
  我們都處於一個多種漲落的世界,有些漲落進化,有些漲落退化。這與第二章得到的遠離平衡熱力學結果完全相符。但我們現在走得更遠。這些漲落是不穩定動力學系統微觀層次上產生的漲落的根本屬性的宏觀表現。古爾德所強調的這些困難不再出現在我們對自然法則的統計表述中。始於動力學層次的不可逆性和時間流在宏觀層次得到放大,繼而在生命層次放大,最終在人類活動層次放大。什麼驅動從一個層次到另一個層次的轉變尚屬未知,但至少我們得到了一個植根於動力學不穩定性的目洽的自然描述。生物學和物理學各自呈現的自然之描述現在開始合而為一。 
  為什麼存在一個共同的未來?為什麼時間之矢總指向同一方向?這只能說明我們的宇宙是一個整體,它有一個包含著時間對稱性破缺的共同的起源。在這裡,我們遇到了宇宙學難題。要對付這些難題,我們必須包含引力,進入愛因斯坦相對論的世界。        
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第八章 時間先於存在?        
I  
  幾年前,在莫斯科羅蒙諾索夫大學舉辦了一次物理學研討會。會後,受人尊敬的俄羅斯物理學家伊萬年科(Ivanenko)教授請我在一個特殊的牆壁上留言。狄拉克和玻爾等著名科學家都在那裡題了詞。我依稀記得狄拉克題寫的一句話是:「美和真在理論物理學中會合。」我躊躇片刻後寫道:「時間先於存在。」 
  對許多物理學家來說,接受宇宙起源的大爆炸理論意味著時間必定有開端,或許還有終結。但在我看來,我們宇宙的創生只是整個宇宙歷史中的一個事件,因此,我們必須把它歸因於先於我們宇宙創生的一個所謂「元宇宙」。 
  我們知道,我們正生活在一個膨脹宇宙之中。主導今天宇宙學領域的標準模型表明,如果我們逆時而歸,就將歸於一個奇點,即一個包含宇宙中所有能量和物質的點。然而,這一模型並未使我們能夠描述這個奇點。原因在於,物理學定律不適用於物質和能量無窮緻密時所對應的點。難怪惠勒(John Archibald wheeler)談到大爆炸時認為我們面臨「物理學中最大的危機」。我們可以接受大爆炸為一個真實事件嗎?我們如何把這一事件與時間可逆的確定性自然法則調和一致呢?我們回到了測量和不可逆性難題上來,但現在是在宇宙學框架內。 
  自大爆炸發現以來,科學界對這一奇點的奇異特性的反應是,要麼試圖整個取消大爆炸(參見第1節和第III節的穩恆態理論),要麼把大爆炸看作誤用時間概念的一種「錯覺」(見第II節霍金的虛時間),更有甚者把它視為類似於《聖經.創世記》中描述的一種奇跡。 
  眾所周知,今天討論宇宙學不涉及相對論是不可能的。朗道(Lev Davidovich Landau)和栗弗席茲(Evgeny MikhaiforichLifscitz)的著名教科書讚譽相對論是「最優美的物理理論」。在牛頓物理學中,甚至被量子理論擴展時,空間和時間都是一勞永逸地給定的。而且,存在一種所有觀測者共同的普適時間。在相對論中,情況不再如此,空間和時間都是圖景的組成部分。這對於我們自己的詮釋會帶來什麼後果呢?戴維斯在他的新著《論時間》中,對相對論的影響作了評價:「把時間截然分為過去、現在和未來似乎是沒有物理意義的。」他重申閔可夫斯基的著名論斷:「從今以後,空間本身,以及時間本身,注定要消亡成為純粹的幻影。」 
  我們已經提到愛因斯坦的名言:「對我們這些有堅定信念的物理學家來說,過去、現在和未來的區分是一種錯覺,儘管這是一種持久的錯覺。」然而在愛因斯坦的晚年,他的看法似乎有了改變。1949年,他得到一本收錄有大數學家哥德爾(Kurt Godel)論文的論文集。哥德爾十分嚴肅地對待愛因斯坦的陳述:時間像不可逆性一樣僅僅是一種錯覺。他給愛因斯坦提供了一個宇宙學模型,在此模型中,回溯人的過去是可能的,愛因斯坦卻對此不感興趣。他在回信中寫道,他不相信他可以「拍電報回到自己的過去」。他甚至補充說,這種不可能性將促使物理學家重新考察不可逆性難題。』這正是我們已努力做的。 
  總之,我們想強調,相對論所帶來的革命並未影響我們先前的結論。不可逆性(或時間流)仍舊像在非相對論性物理學中一樣「真實」。也許我們可以證明,當能量越來越高時,不可逆性還將起更大的作用。有人(主要是霍金)提出,在早期的宇宙中,空間和時間喪失了它們的區別,時間變得充分「空間化」。但是,據我們所知,沒有人對這種時間的空間化提出一種機制,或者提出可以使得空間和時間從常被描述為「泡沫堆」中顯現的途徑。 
  我們的立場與上述觀點全然不同,因為我們把大爆炸看作一種絕妙的不可逆過程。我們認為,存在著從我們稱之為量子真空的前宇宙來的不可逆相變。這種不可逆性是引力和物質相互作用所引起的前宇宙中的不穩定性造成的。顯然,我們處於甚至危險地接近科學幻想小說的實證知識的邊緣。 
  我們提出,在我們宇宙的創生過程中,與動力學過程相聯繫的不可逆過程可能起過決定性的作用。在我們看來,時間是無窮無盡的。我們有年齡,我們的文明有年齡,我們的宇宙有年齡,但時間本身既無開端也無終點。這就拉近了兩個傳統宇宙學觀點:邦迪(Hermann Bondi)、戈爾德(Thomas Gold)和霍伊爾(Fred Hoyle)所提出的穩恆態理論,它更適用於產生我們宇宙的不穩定介質(元宇宙或前宇宙);以及,標準大爆炸理論。 
  再者,雖然推測的成分不可避免,但我們饒有興趣地發現,強調時間和不可逆性作用的觀點比以前的觀點能更加準確地被表述,即使終極真理仍然遠非我們所及。我完全同意印度宇宙學家納裡卡(Jayant Vaishnu Narlikar)的觀點:「那些持『終極宇宙學難題』已經或多或少解決觀點的當今天體物理學家在本世紀完結以前定會大吃一驚。」 
II  
  我們繼續研究,考察愛因斯坦的狹義相對論。這一理論將一個觀察者相對於另一個觀察者作勻速運動的兩個慣性觀察者作為出發點。在相對論性物理學以前的伽利略物理學中,兩個觀察者之間的距離l212=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2與兩時刻間的間隔(t2-t1)2保持相同。空間距離用歐幾里得幾何來定義。但是,這將導致兩個觀察者所測量的真空中的光速c有不同的值。按照我們的經驗,我們假設二者測量的光速值相同,像洛倫茲、龐加萊和愛因斯坦那樣,我們必須引入時空間隔s212=c2(t1-t2)2-l212。當我們從一個慣性觀察者向另一個慣性觀察者運動時,這一間隔保持不變。與歐幾里得幾何有所不同,我們現在有閔可夫斯基時空間隔。從一個坐標系x,y,z,變換到另一個坐標系Z』,y』,z』,t』,就是將空間和時間結合到一起的著名的洛倫茲變換。但是,時間與空間之間的差別無論如何不會喪失;在時空間隔中,減號表示空間維,加號表示時間。 
    這種情形通常由如圖8.1所示的時空圖說明。其中一個軸表示時間t,另一個軸表示單個幾何坐標X。在相對論中,光在真空中的速度c是信號所能傳遞的最大速度,因此,我們可以在圖中區分不同的區域。       
  觀察者位於這幅圖中的O點,他的未來包含在「錐體」BOA中,他的過去包含在錐體A'OB'中,這些錐體由光速c所確定,錐體內速度小於c,錐體外速度大於c,從而不可能實現。在這幅圖中,事件C與O同時,而事件D先於O。但這一結論純屬約定俗成,因為洛倫茲變換將旋轉軸t、x,於是,D可能與O同時,C可能落後於O。洛倫茲變換修正了同時從C或D出發的事件以光速傳遞信號相聯繫,它們也將於後來的時刻t1和t2抵達。結果,O只能收集有限的數據,這與已由米斯拉(Baidyanath Misra)和安東尼烏(Ioannis Antoniou)所研究的確定性混沌有驚人的相似。據說一個相對論性觀察者在外部世界上僅有有限的窗口,在這裡還有對應於過於理想化的確定性描述。這是我們走向統計描述的又一個原因。 
  當然,相對論引入了一些很有趣的新效應,諸如著名的雙生子佯謬。一個雙生子留在地球上點x=0處,另一個雙生子乘飛船離開地球在t0時刻改變方向(O在坐標系中是靜止的),在2t0時刻返回地球,那位飛行雙生子的時間間隔大於2t0。這就是愛因斯坦驚人的時間延緩預言,它已被使用不穩定粒子所證實。所以,這些雙生子的壽命依賴於相對論所預言的路徑。在第七章,我們講過時間流依賴於事件的歷史,但是牛頓時間是普適的,與歷史無關。現在,時間本身變為依賴於歷史了。 
  福克(Vladimir A.Fock)在他有影響的著作《空間、時間和引力理論》中強調,我們在討論雙生子佯謬時必須極其小心,因為飛行的航天飛船上的時鐘的加速效應被忽略了。他證明,當我們考察更詳細的模型,這一模型中加速度是廣義相對論所描述的引力場造成,就會得到不同的結果。時間延緩的符號甚至會改變。為檢驗廣義相對論這些預言的有效性,應當設計全新的實驗。       
  霍金在他的《時間簡史》一書中引入了虛時間τ=it,所有四維在閔可夫斯基時空間隔裡都是「空間化的」。」在霍金看來,真實時間可能就是這種虛時間,這使得洛倫茲間隔的數學公式具有對稱性。霍金的論點確實超出了相對論,但它把宇宙描述為一種靜態的幾何結構,從而否定時間的實在性,與時間流在所有觀察層次上起的作用相矛盾。 
  我們現在回到我們論證的中心課題上來,考慮相對論對經典哈密頓動力學或量於力學所描述的系統的影響。狄拉克及其追隨者已經闡明,如何把狹義相對論的需要與哈密頓描述相結合。相對論要求物理定律對所有慣性系保持相同。在第五、第六章,我們隱含地假定系統作為一個整體是靜止的。但是根據相對論,無論系統整體上是否相對於某個觀察者作勻速運動,類似的描述都成立。我們看到,龐加萊共振破壞了過去和未來在其中起同樣作用的動力學群,從而我們得到打破時間對稱性的半群。在前相對論性物理學中,群和半群使距離l212保持不變。在相對論中,我們也可以引入使閔可夫斯基間隔保持不變的群和半群。遺憾的是,由於證明過於專門,這裡無法給出。總之,這一結論表明,閱可夫斯基時空間隔並不與不可逆過程相矛盾。相對論意味著時間的空間化,這並不成立。如閔可夫斯基所述,空間和時間不再是獨立的存在,但這不排除時間之矢的存在。 
  這樣的結論可以預料到。如果時間對稱性破缺發生於一個慣性系內,那麼按照相對論的定義,它必然在所有慣性參考系裡都出現。因此,不可逆過程理論無論在非相對論性系統還是在相對論性系統裡都十分相似(某些形式變化除外)。但是,存在著一個基本差別:相互作用不再是瞬時的,而是以光速傳播。例如,對於量子理論框架中的帶電粒子,相互作用由光子傳遞。這導致了諸如粒子輻射光子所造成的輻射阻尼此類附加不可逆過程。用較為普通的術語來說,在相對論性物理學中,我們考慮與楊相聯繫的粒子(光子是與電磁場相聯繫的粒子),不可逆性由這些場相互作用所造成。       
  到目前為止,我們認為閔可夫斯基時空間隔與狹義相對論相符。為了完成我們的宇宙學討論,我們必須包括引力,這首先需要將問可夫斯基時空間隔進一步推廣。 
III 
  我們先回到大爆炸問題上來。如前所述,逆時間回溯我們的膨脹宇宙,我們到達奇點:密度、溫度和曲率在此都變成無窮。從今天觀察到的星系的退行速率來看,我們可以估算宇宙創生發生在約150億年前。這個把我們與大爆炸分開的時間驚人地短。為了用年來表示它,我們要將地球的自轉作為時鐘。如果我們想到,在氫原子中,電子每秒鐘要旋轉大約10萬億次,那麼地球公轉150億周就實在是一個很小的數字了! 
  無論時間標度如何,科學所產生的最超乎尋常的啟示之一,肯定是在我們宇宙的起源時存在某些原初事件。物理學只能處理某些種類的現象,大爆炸似乎不屬於此類現象。乍一看,它在物理學其他地方似乎沒有可比擬物。 
  許多科學家寧願借助「上帝之手』減者聖經創世傳說來解釋這個奇點,於是科學將重建超越物理理性的行為的存在性。其他科學家試圖迴避他們看到的這種不安情況。在這一意義上一個引人注目的嘗試,是邦迪、戈爾德和霍伊爾提出的穩恆態宇宙模型。這一模型基於完全宇宙學原理:在宇宙中不僅沒有優先空間,也不存在優先時間。根據這一原理,過去和未來的每一個觀察者,都能夠賦予宇宙同一些參量值,如溫度和物質密度。穩恆態宇宙有指數膨脹的特點,這種膨脹為物質的永恆創生所補償。膨脹與創生之間的同步,維持物質-能量密度恆定不變,從而產生處在連續創生狀態中一個永恆的宇宙的圖景。儘管穩恆態模型頗有吸引力,卻仍然存在某些重大困難。尤其是,為了保持穩恆態,我們需要在宇宙演化(宇宙膨脹)與微觀事件(物質創生)之間進行微調。只要沒有提出這種機制,膨脹與創生之間補償的假說就大有疑問。 
  正是實驗結果,促使絕大多數宇宙學家放棄穩恆態模型而支持如今被視為標準模型的大爆炸。這就是1965年由彭齊亞斯(Arn Penzias)和威爾遜(Robert Wilson)發現的如今著名的2.7K微波背景輻射。早在1948年,阿爾弗(Ralph A.Alpher)和赫爾曼(Robe Herman)就預言了此種輻射存在。他們推斷,如果宇宙在過去比現在更熱和更緻密,那麼它在起初一定是「不透明」的,並有足夠能量的光子和物質進行強烈的相互作用。可以證明,溫度約在3000K時,物質與光之間的平衡受到破壞,由於輻射與物質「脫離」,我們的宇宙就變成透明的了。於是,形成熱輻射的光子的性質隨後僅有的變化,是波長隨著宇宙大小的增加而增加。因此,阿爾弗和赫爾曼能夠預言,如果光子在其與物質的平衡被破壞的時間(即宇宙「創生」後約 300000年),確實形成3000K的黑體輻射,那麼這種輻射的溫度今天應相當於約3K。這就是對本世紀所預期的最重大實驗發現的里程碑式預言。 
  標準模型處於當代宇宙學的核心,科學家們公認,它產生了大爆炸奇點之後最初一秒鐘宇宙的正確描述。但是,第一秒鐘內的宇宙狀態仍懸而未決。 
  為什麼有某種事物,而不是什麼都沒有呢?這看來是實證知識範圍之外的終極問題。然而,這一問題可以用物理學術語來表述,從而與不穩定性和時間難題相聯繫。目前非常流行的一個此種表述,把我們宇宙的創生定義為免費午餐,這一思想由特賴恩(Edward Tryon)在1973年提出,但它似乎又回到了約當的觀點。特賴恩認為,我們宇宙可以描述為具有兩種能量形式,一種與引力有關,因而是負能量;另一種與質量有關,根據愛因斯坦著名的質能公式E=mc2,是正能量。 
  這會引發我們作出推測,宇宙的總能量可能是零,因為它等於空無一物宇宙的能量。因此,大爆炸可能與保持能量守恆的真空中的漲落有關。這是一個非常誘人的思想。非平衡結構(如貝納爾渦旋或化學振蕩)的產生(其中能量守恆)也相應於「免費午餐」,因為非平衡結構的代價是熵,而不是能量。在這種情況下,我們能否確定負的引力能量的來源,並把它轉化為正的物質-能量?這是我們現在要探討的問題。 
IV  
  愛因斯坦最傑出的貢獻,或許是把引力與時空曲率聯繫起來。我們在狹義相對論中看到,閔可夫斯基時空間隔是ds2=c2dt2-dl2。在廣義相對論中,時空間隔變為ds2=Σgmndxmdxn,其中m、n取4個值:0(時間)和1,2,3(空間)。所得到的10個不同的函數(因為gmn= gnm)表徵時空,或黎曼幾何。說明黎曼幾何一個簡單例子,是把球視為彎曲的二維空間。 
  在牛頓時空觀中,時空被一勞永逸地給定,且與它包含的物質無關。我們現在明白,由於愛因斯坦革命,時空與物質之間的聯繫由愛因斯坦基本場方程所表達,該方程與兩個客體有關:一方面我們有用枷及其對空間和時間的導數描述時空曲率的表達式;另一方面我們又有用其物質-能量內容和壓強來定義物質內容的表達式。這個物質內容是時空曲率的來源。愛因斯坦早在1917年就把他的方程應用於作為一個整體的宇宙了,於是設定了現代宇宙學的方向。為實現這一應用,他提出了一個與他的哲學觀點一致的無時間的靜態模型。斯賓諾莎是愛因斯坦最喜歡的哲學家,我們可以在這一模型的選擇中覺察出斯賓諾莎的精神。 
  後來,奇事接踵而至,弗裡德曼(Alexander Friedmann)和勒梅特(Georges-Henri Lemaitre)證明,愛因斯坦的宇宙太不穩定,極小的漲落就會使其毀滅。在實驗方面,哈勃(Edwin PowellHubble)及其合作者發現了我們宇宙的膨脹。嗣後,在1965年觀測到了殘餘黑體輻射,得出現代標準宇宙模型。 
  為了從廣義相對論基本方程到宇宙學領域,我們必須引入簡化假設。標準模型與弗裡德曼、勒梅特、羅伯遜(Howard Rdertson)和沃克(Arthur Walker)等人的名字連在一起。這一模型以宇宙學原理為基礎,該原理假設,在大尺度上看來,宇宙可以被視為均勻的和各向同性的,所以度規取簡單形式ds2=c2dt2-r2(t)dl2(所謂弗裡德曼間隔)。這一表達式與閔可夫斯基時空在兩方面有所不同:dl2是空間元,它對應於零空間曲率(如在閃可夫斯基空間中),或者對應於正或負空間曲率(如對於球或者雙曲面);R(t)通常稱為宇宙半徑,它相應於時間t的天文觀測極限。愛因斯坦方程把R(t)和空間曲率與物質一能量平均密度和壓強關聯起來。愛因斯坦宇宙演化也表述為熵守恆,故愛因斯坦方程是時間可逆的。 
  一般認為,標準模型至少使我們定性地瞭解我們宇宙創生後幾分之一秒發生的事情。這是一個了不起的成就,但我們對在此之前發生了什麼仍然一無所知。當我們追溯到以前時,我們到達一個無窮密度的點。我們能夠外推到這點之外嗎?為了給出這裡涉及到的數值範圍,引入普朗克標度是有用的。普朗克標度分別量度長度、時間和能量,可以用3個普適常量得到:普朗克常量人引力常量C和光速c。於是,我們得到普朗克長度l=gh/c3~10-35m,普朗克時間為10-44秒數量級,普朗克能量對應於1032度數量級的高溫。這些標度與極小几何大小、極短時間和極大能量所刻畫的極早期宇宙相關聯似乎是合理的。在這個「普朗克時代」,量子效應能夠起重要作用。我們現在到達當今物理學的極限,在這裡我們遇到引力量子化或等價的時空量子化基本難題。通解雖然仍遠離我們,但我們至少表述了一個模型,這個模型包含龐加萊共振和不可逆性在我們宇宙最開端上的作用。我們現在闡述促使我們提出這一模型的某些思路。 
  我們注意到,弗裡德曼時空間隔(當我們考慮歐幾里得三維幾何情形時)可以寫為 ds2= Ω2(t)(dt2c-dl2),其中tc是共形時間。這是閔可夫斯基時空間隔乘以稱作共形因子的函數Ω2。這 樣的共形時空間隔具有顯著的特點,ds2=O時它們使光錐守恆。納裡卡等人指出,它們是量子宇宙學的天然出發點,因為它們把弗裡德曼宇宙作為特例包含在內。 
  作為時空的函數的共形因子,以與電磁場那樣的其他場同樣的方式和場相關。(請記住:場是由明確定義的能量及哈密頓量所刻畫的動力學系統。)布勞特(Robert Brout)及其合作者證明,共形因子具有獨特的性質,因為它相應於負能量(即它的能量沒有下確界),而任何給定物質場的能量是正能量。結果,被共形因子所描述的引力場可以起負能庫的作用,從負能庫中提取能量而產生物質。 
  這就是「免費午餐」模型的理論基礎。在此模型中,總能量(引力場+物質)守恆,引力能被轉化為物質。布勞特等人為正能量的提取提出了一種機制。除共形場外,他們還引入了物質場,並且證明愛因斯坦方程產生了一個合作過程,即物質和發源於閔可夫斯基時空(包含零引力能和零物質能)的彎曲時空同時出現。他們的模型表明,這樣的合作過程引起宇宙半徑隨時間推移呈指數增長。(這被稱為德西特(de Sitter)宇宙。) 
  這些結論值得注意,因為它們指出了把引力轉化為物質的不可逆過程的可能性。它們還使我們把注意力集中於前宇宙階段,即閔可夫斯基真空,它是不可逆轉化的出發點。請注意,這一模型並未描述無中生有創世。量子真空已得到宇宙常量的支持,假定我們可以把它們歸屬於現有的值。 
  我們宇宙的創生不再與奇點相聯繫,而與比擬於相變或分岔的不穩定性相聯繫。然而,這一理論仍存在許多傷腦筋的問題。布勞特等人使用了半經典近似,其中,物質場是量子化的,而共形場則用經典方式處理。在量子效應起基本作用的普朗克時代,這種情況不大可能發生。 
  貢資(Edgar Gunzig)和納爾多內(Pasguale Nanlone)提出了質疑:如果與平坦幾何背景相聯繫的量子真空在引力相 互作用下確實是不穩定的,為什麼這一過程不發生在連續基礎之上呢?他們已經證明,在這種半經典近似下,為了發動這一過程,我們需要數量級為 50個普朗克質量(~50.10-8kg)重質量粒子雲的初始漲落。 
  這些結果可以與宇宙必須作為開系對待的宏觀熱力學方法相結合。因此,我們可以觀察到,損失引力能而產生物質和能量(見圖8.4)。這迫使我們對熱力學第一定律作出許多修正,現在在熱力學第一定律中存在著物質-能量源,它使諸如壓強這樣的量的定義發生了變化。既然熵與物質有著特別的聯繫,故時空向物質的轉化對應於產生熵的不可逆耗散過程,而物質轉化為時空的逆過程則不可能。因而,我們宇宙的創生是熵猝發的結果。       
  引力場與物質場的相互作用,導致來自短時間和短距離(它們在量子理論裡對應於高能量值和高動量值)的發散。這些所謂的「紫外」發散是大量有意義研究的對象,那些研究產生了已證明十分成功的一套步驟,叫做重正化程序。然而,某些困難仍然存在。前面幾章討論過場理論與熱力學情形之間存在著驚人的相似。這裡亦然,我們正處理無始無終的持續相互作用,所以我們必須超越希爾伯特空間。 
  儘管這一新場論尚在孕育之中,它的主要結論卻合理:在宇宙學層次可能不存在穩定基態,因為在物質產生時共形因子達到較低的能量。雖然這一研究思路有待繼續下去,但我們在本書中強調的兩個概念不可逆性和概率顯然構成這一研究的重要組成部分。宇宙出現在引力場幅度和物質場幅度量值較大的地方,出現的時間、地點僅有統計意義,因為它們與這些場的量子漲落相聯繫。這一描述不僅適用於我們宇宙,而且也適用於元宇宙,即個體宇宙誕生於其中的介質。在我們看來,這裡我們又有一個類似於激發原子衰變的龐加萊共振的例子。然而,在這種情況下,衰變過程不產生光子,而產生眾多宇宙!甚至在我們的宇宙創生之前,就存在著時間之矢,這個箭頭將永遠繼續。 
  當然,迄今我們僅有一個簡化模型。愛因斯坦囊括所有相互作用的統一理論之夢想如今依然未死盧然而,這樣的統一理論與宇宙的創生及隨後的演化相聯繫,因而必須考慮宇宙的時間方向特徵。這只有在某些場(如引力)與其他一些場(如物質)起著不同的作用時才能實現,換言之,統一是不夠的。我們需要一個更加辯證的自然觀。 
  時間的起源問題也許將永遠伴隨著我們,但是,時間沒有開端——時間確實先於我們宇宙的存在——這一思想正變得越來越可信。 
  * 「創世」壓強是負壓強。因此,一個經常被引用的霍金和彭羅斯定理所指出的宇宙開始於奇點並包含正壓強是不成立的。        
《確定性的終結》 
伊利亞·普利高津著 湛敏譯        
第九章 一條窄道    
   I     
  常常有人提出,不可逆性具有與我們宇宙創生相聯繫的宇宙學起源。不錯,宇宙學需要解釋時間之矢何以普適,但是,不可逆過程並沒有因為我們宇宙的創生而停止,它們今天在所有層次(包括地質演化和生物進化)上仍然存在。我們在第二章所介紹的耗散結構,不僅在實驗室裡而且在生物圈中發生的大規模過程裡通常都能觀察到,但是,不可逆性只有借助傳統上等同於經典力學和量子力學的微觀描述才能得到充分認識。這需要一種新自然法則表述,它不再基於確定性,而基於概然性。承認未來不被確定,我們得出確定性終結的結論。這豈不是承認人的心智失敗?不,我認為恰好相反。    
  意大利作家卡爾維諾( Italo    
  Calvino)寫過一本討人喜歡的小說集《宇宙喜劇》。書中的人生活在我們宇宙的極早期,他們聚在一起回憶那個宇宙小到他們的身體可以完全填滿的可怖時期。假如牛頓是這一群體中的一員,物理學史會是何種樣子呢?他會觀察到粒子的產生與衰變,觀察到物質和反物質相互湮沒。從一開始,宇宙就呈現為一個遠離平衡的具有不穩定性和分岔的熱力學系統。    
  確實,如今我們能夠孤立出簡單的動力學系統,對經典力學和量子力學定律進行檢驗。然而,它們對應於可用於宇宙內穩定動力學系統的理想化。在宇宙這個遠離平衡的巨熱力學系統裡,我們在所有層次均發現了漲落、不穩定性和演化模式。另一方面,確定性久已被與對時間和創造力的否定聯繫起來。在其歷史源流中來考察這個難題是很有意義的。    
  II     
  我們如何才能達到確定性呢?這一問題位於笛卡兒著作的核心。圖爾敏( Stephen    
  Toulmin)在他發人深省的書《國際都市》中試圖闡明促使笛卡兒探索確定性的環境。他描述了17世紀的悲慘景象,那是一個政治動亂、天主教徒與基督教徒為了宗教教義而發生戰爭的年代。正是在這種衝突期間,笛卡兒開始了對一種不同類型確定性的探索,一種所有人(與他們的宗教信仰無關)都可以共享的確定性。他將他著名的「我思」(cogito)作為他的哲學的基礎。他確信,以數學為基礎的科學是達到這種確定性的唯一途徑。笛卡兒的觀點已證明十分成功,它們影響了我們在第一章討論過的萊布尼茲的自然法則概念。(萊布尼茲也想創立一種能夠消除宗教分歧並促使宗教戰爭結束的語言。)笛卡兒對確定性的追求在牛頓的工作中得到了具體實現,牛頓的工作在300年裡一直保持為物理學的典範。    
  圖爾敏的分析揭示了圍繞笛卡兒探求確定性的歷史環境與愛因斯坦的歷史環境之間的一種明顯的平行關係。對愛因斯坦來說,科學是一種逃避現實存在之混亂的途徑。他把科學活動比作「不可阻擋地促使城市居民離開喧鬧嘈雜、擁擠不堪的市區到寂靜的高山上去的渴望」。』    
  愛因斯坦對人類狀況有較深的悲觀主義觀點。他一生經歷了人類歷史上特別悲慘的時期:法西斯主義和反猶太主義興起和兩次世界大戰爆發。愛因斯坦的物理直覺可以認為是人類理性超越暴力世界的最高成就,它把客觀知識從不確定和主觀範疇分離出來。    
  但愛因斯坦所構想的科學——逃離人類存在之變幻無常——仍然是當今的科學嗎?我們不能離開受污染的城市而遷居高山。我們必須參與明天社會的建設。用斯科特( Peter    
  Scott)的話來說:「世界,我們的世界,要不斷拓展知識和價值的疆域,超越事物的已知性質,想像新的更美好的世界。」    
  科學始於勇於肯定理性之力量,但它看來卻終於異化——對賦予人的生命以意義的一切事物的否定。我們堅信,我們這個時代可以視為用我們的世界觀探索一種新型統一的時代,科學必須在實現這一新的統一中發揮重要作用。    
  我們在第八章曾提到,在愛因斯坦晚年,他得到一本論文集,其中有大數學家哥德爾的論文。在答覆哥德爾時,他否定了他關於過去與未來之間的可能等價性的觀點。對於愛因斯坦來說,不管永恆的誘惑力有多麼大,承認時間倒流就是否定現實世界。他不同意哥德爾對他自己觀點的激進詮釋。    
  如魯比諾( Carl    
  Rubino)所註釋的,荷馬(Homer)的《伊利亞特》圍繞時間難題展開,因為阿基裡斯(Achilles)著手尋求某種萬古不易的東西:    
  《伊利亞特》的智慧(其主人公阿基裡斯學得太遲的一個痛苦教訓)在於,此種完善只可在付出人性的代價才能得到:為了獲得這一新程度的榮耀,他必須失去他的生命。對男人和女人來說,對我們來說,永恆不易,擺脫變易的自由,平平安安,免除生活那惱人的沉浮,都只有在我們通過死亡或成仙而與這一生命分離時實現。賀拉斯( Horase)告訴我們,諸神是產生平安生活、免於恐懼和變易的唯一活物。    
  荷馬的《奧德賽》以《伊利亞特》的辯證對立面出現。奧德修斯( Odysseus)是夠幸運的,能在永為卡呂普索(Calypso)的情夫從而永生不死,與回歸人性且最終老死之間作出選擇。最後,他選擇了超越永恆的時間,選擇了超越諸神命運的人的命運。    
  自荷馬以來,時間已成為文學的核心論題。在大作家博爾赫斯( Jorge    
  Luis Borges)一篇題為「時間的新反駁」的文章裡,我們發現了與愛因斯坦的反應十分相似的反應。在描述了使時間成為一種錯覺的觀點以後,他斷言:「然而,然而……否定時間的連續,否定自我,否定天體宇宙,表面上是冒險,實際上是慰藉。……時間是組成我的物質。時間是衝著我順流而下的河流,但我就是河流;時間是毀滅我的虎,但我就是虎;時間是焚燒我的火,但我就是火。不幸,世界是真實的;不幸,我是博爾赫斯。」時間和實在有著不可分割的聯繫。否定時間可能是一種慰藉,也可能是人類理性的成就。否定時間總是對實在的否定。    
  否定時間是對科學家愛因斯坦和詩人博爾赫斯的一種誘惑。愛因斯坦多次講過,他從陀思妥也夫斯基( Fyodor    
  Dostoyevsky)那裡學到的東西比向任何物理學家學到的還多。1924年,他在給玻恩的信中寫道,若他被迫放棄嚴格的因果律,他「寧願做一個補鞋匠,或甚至做賭場裡的僱員,而不願意做一個物理學家。」物理學要有價值,就必須滿足他的擺脫人類狀況悲劇的需要。「然而,然而,」愛因斯坦面臨哥德爾提出的他的探索的極端結果,面臨物理學家努力做到的否定實在性時,他卻後退了。    
  我們當然理解愛因斯坦拒絕了回答我們問題的唯—一次機會。事實上,我們努力要走的是一條窄道,它介於皆導致異化的兩個概念之間:一個是確定性定律所支配的世界,它沒有給新奇性留有位置;另~個則是由擲骰子的上帝所支配的世界,在這個世界裡,一切都是荒誕的、非因果的、無法理喻的。    
  我們力圖使本書成為沿這條窄道的旅行,從而展示人的創造力在科學中的作用。十分奇怪的是,這一創造力常常被低估了。我們都承認,倘若莎士比亞( Shakespeare)、貝多芬(Beethoven)、梵高(van    
  Gogh)剛出生就死去,則沒有其他人能取得他們所取得的成就。對科學家也是這樣嗎?如果沒有牛頓,某個其他人就不能發現經典運動定律嗎?熱力學第二定律的表述難道完全取決於克勞修斯嗎?在藝術創造力和科學創造力之間的對比中存在著某個真理。科學是一項集體事業。為了得到公認,科學問題的解必須滿足精確的判據和要求。這些限制不僅不消除創造力,反而激發創造力。    
  時間佯謬的表述本身就是人的創造力和想像力的超乎尋常的業績。如果科學受限於經驗事實,那麼如何能設想否定時間之矢呢?時間對稱定律的闡述不是單純靠引人任意的簡化所取得的,它把經驗觀察和理論建構結合在一起。這就是時間佯謬的解決不能通過簡單地訴諸於常識或者通過對動力學定律的專門修正來完成的原因。它甚至不是單純地發現經典理論大廈的弱點問題。為了取得根本性的進展,我們必需引入諸如確定性混沌和龐加萊共振這樣的新物理概念,引入使這些弱點轉化為長處的新數學工具。在我們與自然的對話中,我們首次把貌似障礙的東西轉化為創新的概念結構,把新鮮觀點注人認識主體與認識客體之間的關係之中。    
  現今正在出現的,是位於確定性世界與純機遇的變幻無常世界這兩個異化圖景之間某處的一個「中間」描述。物理學定律產生了一種新型可理解性,它由不可約的概率表述來表達。當與不穩定性相聯繫的時候,新自然法則無論是在微觀層次還是在宏觀層次都處理事件的概率,但不把這些事件約化到可推斷、可預言的結局。這種對何者可預言、可控制與何者不可預言、不可控制的劃界,將有可能滿足愛因斯坦對可理解性的探求。    
  在沿著這條迴避盲目定律與無常事件之間激動人心抉擇的窄道時,我們發現了在此之前「從科學的網孔中滑過」(懷特海語)的我們周圍的大部分具體世界。在科學史上這一值得慶幸的時刻,我們面對新的視界,我們希望能夠把這一信念傳達給我們的讀者。                      
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<<確定性的終結>> 〔完〕

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